Лекция 2 Квантовая механика icon

Лекция 2 Квантовая механика


Скачать 120.89 Kb.
НазваниеЛекция 2 Квантовая механика
Дата публикации17.08.2013
Размер120.89 Kb.
ТипЛекция

Лекция 2

Квантовая механика.

Волновая механика. Последовательная теория, описывающая явления микромира получила название квантовой механики. Сначала возникло направление, получившее название матричной механики. Несколько позже появилось другое направление - волновая механика. Вскоре выяснилось, что эти направления отличаются лишь формой и эквивалентны по физическому содержанию. Изложение матричной механики требует применения более сложного математического аппарата. Мы ограничимся только изложением основных физических представления волновой теории, математический аппарат которой уже известен студенту из курса физики.


Всякая физическая теория состоит из двух неразрывно связанных частей. Первая часть – это система уравнений, описывающих связь между характеристиками исследуемой модели. Вторая часть определяет связь этих характеристик с природой. Классическая физика всегда начинала со второй части. Смысл понятий, которыми оперировала теория, считался очевидным или устанавливался в процессе построения теории. При этом точные определения иногда вначале подменялись заимствованными из обыденной жизни представлениями. В этом случае в процессе развития науки понятия уточнялись. Так было, например, с понятиями пространства и времени, уточнение которых привело к созданию специальной теории относительности.

При создании квантовой механики пошли иным путем. Сначала на основе аналогий были установлены уравнения, смысл некоторых величин в которых (например, волновой функции) не был до конца понятен. Затем отыскали связь этих величин с реальностью. Не останавливаясь на истории развития квантовомеханических представлений, приведем только твердо установленные факты.

^ Волна де Бройля. В 1925 г. де Бройль выдвинул гипотезу о том, что волновые свойства, наряду с корпускулярными, присущи не только световым волнам, но и любым частицам вещества. Если мы примем, что соотношение между энергией и частотой и между импульсом и длиной волны , справедливое для фотонов, носит универсальный характер, то поведение произвольной свободной частицы, движущейся по оси х описывается волной

, (2.1)

в которой , а . Отметим, что в квантовой механике фаза волны де Бройля отличается знаком от фазы электромагнитных волн и волн в упругой среде. После подстановки этих соотношений в формулу (2.1) мы получаем выражение для -волны уже в терминах механических величин – энергии и импульса:

, . (2.1)

Статистический смысл волновой функции. Волна де Бройля представляет собой частный случай волновой функции , являющейся волной вероятности. С количественной точки зрения это означает, что квадрат модуля волновой функции в точке r равен плотности вероятности обнаружения частицы в этом месте в момент времени . Следовательно, вероятность нахождения частицы в малом объеме dV есть

. (2.3)

В соответствии с физическим смыслом волновая функция должна быть однозначна, ограничена и непрерывна во всем доступном для частицы объеме пространства V. При этом должно выполняться условие нормировки

, (2.4)

что физически означает, что вероятность обнаружения частицы во всем доступном для движения пространстве равна единице.

Следует отметить, что комплексное представление гармонической волны, диктовавшееся в оптике только соображениями удобства, в квантовой механике является принципиальным. Если в классической физике наблюдаемые величины (напряженности полей для электромагнитных волн, плотности для волн в упругой среде и другие) определялись только действительной частью экспоненты, то в квантовой механике необходимо знать всю волновую функцию. Это свойство квантовой механики наглядно проявляется в уравнении (2.3).

Гипотеза де Бройля и статистическая интерпретация волновой функции были непосредственно подтверждены в опыте, когда была зафиксирована картина дифракции на пространственной кристаллической решетке. Проведенные по формуле Вульфа-Бреггов расчеты дали значение длины волны для -функции, находящееся в полном соответствии с гипотезой де Бройля.

^ Соотношение неопределенностей. В классической механике поведение материальной точки описывается координатой и импульсом. Волновые свойства квантовых частиц не позволяют одновременно определять их координату и импульс. Так, например, частица, поведение которой описывается гармонической функцией (2.2) обладает определенным импульсом р. В то же время, квадрат модуля этой функции не зависит от координаты

, (2.5)

и частица может быть обнаружена в любой точке пространства с одинаковой вероятностью. Следовательно, невозможно определить ее координату. Таким образом, гармоническая волна занимает неограниченное пространство.

С другой стороны, если волна занимает ограниченную область пространства, то она уже не является периодической. Для ее представления необходим набор гармонических волн различных частот (волновой пакет), которые взаимно гасили бы друг друга за пределами локализации волны. Таким образом, волновой пакет конечных размеров не может иметь определенную длину волны, а в соответствии с уравнением и определенный импульс. Свойство волн, заключающееся в невозможности одновременного точного определения координаты и импульса составляет физическое содержание соотношения неопределенностей. Соотношение неопределенностей проявляется при всякой попытке одновременного измерения положения и импульса квантовомеханической частицы. Оказывается, что уточнение положения частицы приводит к увеличению неточности в значении импульса, и наоборот. Рассмотрим пример эксперимента, который позволит придать соотношению неопределенностей количественный смысл.

Как было показано выше, частица, описываемая волной (2.2), обладает определенным импульсом, но полностью неопределенной координатой. Для определения х-координаты частицы на ее пути перпендикулярно к направлению распространения поставим непрозрачный экран со щелью шириной (рис. 2.1). При прохождении частицы через щель ее координата фиксируется с точностью . В результате дифракции частицы получают некоторый поперечный импульс , где – характерный угол отклонения, который согласно теории дифракции волн на щели удовлетворяет соотношению . Таким образом, получаем соотношение

, (2.6)

которое количественно описывает соотношение (принцип) неопределенности.

Принципу неопределенности подчиняется не только пара координата – импульс, но и другие пары физических величин, произведение размерностей которых совпадает с размерностью постоянной Планка. Например, для энергии E и времени t соотношение неопределенностей имеет вид

(2.7)

Здесь также ограничение накладывается только на произведение , но не на степень точности, с которой можно измерить порознь E и t. Поэтому, если состояние системы может существовать без внешних воздействий бесконечно долго (такие состояния называются основными), то энергия этого состояния определена абсолютно точно. С другой стороны, энергия короткоживущих состояний или состояний наблюдаемых короткое время имеет значительный разброс.

Принцип неопределенности приводит к тому, что квантовомеханические измерения принципиально отличаются от классических. И те и другие сопровождаются ошибками. Однако, классическая физика считала, что путем улучшения методики ошибки в принципе можно сделать сколь угодно малыми. Напротив, в квантовой физике существует принципиальный, определяемый природой явлений, предел точности измерений.

^ Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Определим дифференциальное уравнение, которому подчиняется волновая функция. Для волны де Бройля такое уравнение можно получить исходя из соотношений классической механики между энергией и импульсом свободной частицы: . Нетрудно убедиться, используя выражения для функции (2.2), что

(2.8)

Отсюда следует

. (2.9)

Если частица движется во внешнем потенциальном поле с потенциальной энергией U, то ее полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии и уравнение Шредингера для волновой функции принимает вид

. (2.10)

Для трехмерного движения это уравнение записывается как

, (2.11)

где – дифференциальный оператор Лапласа в декартовой системе координат.

В случае, если потенциальная функция не зависит от времени то, и решение уравнения (2.11), имеет вид

. (2.12)

Вероятность обнаружения частицы в некоторой области пространства для такого состояния не зависит от времени и определяется только пространственной частью волновой функции . В самом деле

. (2.13)

Поэтому такие состояния называются стационарными. После подстановки функции (2.12) в уравнение (2.11) имеем

. (2.14)

Учитывая, что и сокращая множитель в обеих частях равенства, получим стационарное уравнение Шредингера (в дальнейшем – уравнение Шредингера)


. (2.15)

Уравнение Шредингера позволяет в принципе описать все явления микромира, кроме тех, которые связаны с теорией относительности. Оно, например, объясняет строение атомов, молекул, кристаллов и их спектры. Некоторые (например, магнитные) эффекты теории относительности могут быть учтены в рамках уравнения Шредингера, путем введения в него дополнительных слагаемых. При этом конечно последовательное решение дифференциального уравнения (2.15) (также как и уравнения Ньютона) для произвольного вида взаимодействия U(r) может быть весьма сложным. Мы решим уравнение Шредингера в двух простейших случаях, что позволит, не отвлекаясь на математические трудности, продемонстрировать физические особенности явлений микромира.

^ Частица в одномерной по­тенциальной яме. На этом примере мы покажем, как в квантовой механике возникают дискретные уровни энергии, существование ко­торых до создания квантовой ме-ханики пришлось постулировать для объяснения фотоэффекта, теплового излучения и линейчатых спектров.

Рассмотрим волновое движе­ние частицы, ограниченное двумя параллельными непроницаемыми отражающими стенками (рис. 2.1). В рассматриваемой задаче и . Таким образом, между стенками волновая функция описывается одномерным уравнением

(2.16)

где . По виду это уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний, аргументом в котором является не время, а пространственная координата. Решением уравнения (2.16) является сумма линейно независимых решений гармонического уравнения

. (2.17)

Вероятность нахождения частица вне потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками равна нулю. Поэтому на границах ямы . Эти требования совпадают с граничными условиями для стоячей волны в ограниченном пространстве. Следовательно, решения будут иметь вид пространственной части стоячих волн. Из условия следует, что B = 0. Из условия следует, что

. (2.18)

Рис. 2.1.

Отсюда

(2.19)

Следовательно, энергия может принимать только значения из дискретного набора

(2.20)

Уравнение (2.20) выражает условие квантования энергии, а число n называется квантовым числом. Положение первых трех энергетических уровней и вид соответствующих волновых функций изображены на рис. 2.1.

В соответствии с принципом неопределенности импульс, а следовательно и энергия, частицы не может принимать нулевого значения. Невозможность абсолютного покоя есть следствие соотношения неопределенностей. В самом деле, нулевой энергии соответствовал бы и полностью определенный нулевой импульс . С другой стороны, частица не может выйти за пределы ямы и неопределенность координаты не превышает а: . Следовательно , что противоречит принципу неопределенности. Следовательно, связанные состояния с нулевой энергией невозможны. Минимальная возможная энергия отвечает n = 1, а соответствующая волновая функция внутри ямы составляет половину синусоиды. Модуль импульса в этом случае определяется уравнением


. (2.21)

Поскольку движения частицы в яме возможно в двух противоположных направлениях, , откуда в полном соответствии с принципом неопределенности имеем .


Рис. 2.2

^ Туннельный эффект. В классической механике нахождение частицы в области пространства, в которой потенциальная энергия превышает ее полную энергию невозможно. Это требование приводит к появлению границ одномерного движения (см. [1], лекция 5). В частности, потенциальный барьер, высота которого превышает полную энергию частицы, делит пространство на доступную и недоступную для движения области. Так, например, невзаимодействующие между собой частицы 1 и 2 могут находиться только в областях пространства x и x>b соответственно (рис 2.2).

Для системы материальных точек границы движения определяются не только полной энергией, но и распределением массы при гравитационном взаимодействии или заряда при электрическом взаимодействии внутри системы.

Рассмотрим систему массой m из двух одинаковых материальных точек с равными массами, связанными невесомой нерастяжимой и несжимаемой нитью, длина которой превышает периметр барьера. Для того, чтобы такая система преодолела барьер, ей достаточно энергии mgh/2, равной половине энергии, необходимой для преодоления барьера материальной точкой массой m. Этот механизм будет работать тем эффективней, чем большую область пространства занимает система. Квантовая частица не является материальной точкой. Область пространства, занимаемая ей, определяется принципом неопределенности. Поэтому рассмотренный классический механизм уменьшения энергии, необходимой для преодоления потенциального барьера, будет работать и в этом случае. Если считать квантовую частицу материальной точкой, то преодоление барьера при подбарьерной энергии выглядит как результат ее движения то траектории, проходящей по туннелю ниже вершины барьера. Поэтому этот эффект получил название туннельного эффекта.

Перейдем теперь к количественному описанию туннельного эффекта. Пусть зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид прямоугольной ступеньки высотой U0 шириной l, как показано на рис. 2.3. Слева от точки потенциал и частица движется свободно. В этой области она описывается волной де Бройля.

В области потенциальная энергия . При классическое движение в этой области невозможно. В точке налетающая на барьер классическая частица отразится. В квантовой механике движение частицы в области описывается стационарным уравнением Шредингера (2.11), которое можно записать в виде

. (2.22)

Здесь введено обозначение

(2.23)

Уравнение (2.22) имеет решение

, (2.24)

в чем можно убедиться прямой подстановкой. Для широких барьеров растущее при увеличении координаты х решение не соответствует физическому смыслу задачи, поскольку соответствует бесконечному увеличению вероятности обнаружения частицы при движении под барьером. Поэтому B = 0. Таким образом, волновая функция частицы в подбарьерной области экспоненциально затухает. Плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой х есть

. (2.25)

Вследствие этого плотность вероятности нахождения частицы на правой границе барьера в точке с координатой определяется равенством

. (2.26)

Рис. 2.4.

При потенциал и состояние частицы описывается волной де Бройля. В соответствии с уравнением (2.5), вероятность ее обнаружения не зави­сит от координаты. Таким образом, уравнение (2.26) описывает вероятность прохождения частицы через барьер. Зависимость волновой функции от координаты изображена на рис. 2.3 тонкой линией.

Гладкий потенциальный барьер произвольной формы можно представить в виде совокупности прямоугольных потенциальных барьеров (рис. 2.4), вероятность прохождения через каждый из которых описывается формулой (2.26). Полную вероятность прохождения через барьер можно найти как произведение вероятностей прохождения через отдельные прямоугольные барьеры:

(2.26)

Здесь введено обозначение . В соответствии с формулой Симпсона

. (2.27)


Подставляя выражение (2.27) в уравнение (2.26) и учитывая соотношение (2.23) между волновым числом и энергией окончательно имеем

. (2.28)

Туннельный эффект позволяет объяснить целый ряд физических явлений. Одно из них– автоэлектронная эмиссия, то есть вырывание электронов из металла постоянным электрическим полем.

Другое, о котором мы будем подробно говорить позднее, – явление -распада атомных ядер.


Рис. 2.5

Сравнение результатов решения двух задач позволяет сформулировать важный вывод о том, что только в том случае, когда область пространства, в которой может находится частица, ограничена, энергия принимает дискретный ряд значений (квантуется).


^

Вопросы для самопроверки


  1. Как можно убедиться в волновой природе микрочастиц?

  2. Какой характерный импульс имеет электрон, локализованный в атоме с размерами 10-8 см?

  3. Какой смысл имеет волновая функция?

  4. Какая связь имеется между волновой функцией и волной де Бройля?

  5. Запишите нестационарное и стационарное уравнение Шредингера.

  6. Почему энергия свободного электрона может быть любой, а энергия электрона в ящике с отражающими стенками оказывается дискретной?



Вопросы экзаменационных билетов


  1. Волна де Бройля.

  2. Принцип неопределенности Гейзенберга.

  3. Статистический смысл волновой функции.

  4. Уравнение Шредингера.

  5. Частица в прямоугольной потенциальной яме.

  6. Туннельный эффект.



Похожие:

Лекция 2 Квантовая механика iconЛекция 2 Квантовая механика
При этом точные определения иногда вначале подменялись заимствованными из обыденной жизни представлениями. В этом случае в процессе...
Лекция 2 Квантовая механика iconУчебно-методическое пособие для студентов по подготовке к практическому занятию
Современная теория строения атома основана на законах, описывающих движение и взаимодействие микрочастиц (квантовая или волновая...
Лекция 2 Квантовая механика iconРабочая программа по дисциплине "Механика" 4 семестр Теоретическая механика, 5 семестр Техническая механика для специальности 140211 «Электроснабжение»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования омский государственный технический университет
Лекция 2 Квантовая механика iconЛекция Катрин Видаль: "Как устроен мозг"
...
Лекция 2 Квантовая механика iconФрэнк Кинслоу – Секрет мгновенного исцеления квантовая синхронизация здоровья
К41 Секрет мгновенного исцеления: Квантовая синхронизация здоровья / Перев с англ. — М.: Ооо издательство «София», 2010. — 160 с
Лекция 2 Квантовая механика iconФрэнк Кинслоу – Секрет мгновенного исцеления квантовая синхронизация здоровья
К41 Секрет мгновенного исцеления: Квантовая синхронизация здоровья / Перев с англ. — М.: Ооо издательство «София», 2010. — 160 с
Лекция 2 Квантовая механика iconПрограмма курса «механика и молекулярная физика» Раздел Механика
Задачи механики. Модель материальной точки и абсолютно твердого тела. Способы описания движения материальной точки. Кинематика прямолинейного...
Лекция 2 Квантовая механика iconДокументы
1. /Bogush_A_A__Moroz_L_G__Vvedenie_v_teoriyu_kl.djvu
2. /Блохинцев...

Лекция 2 Квантовая механика iconДокументы
1. /ФИЗИКА/Инструкция.doc
2. /ФИЗИКА/КВ_МЕХ/LR000.doc
Лекция 2 Квантовая механика iconДокументы
1. /Гражданский процесс/лекция 22/IMG_0016.pdf
2. /Гражданский...

Лекция 2 Квантовая механика iconТеоретическая физика: квантовая теория (семинар)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы