Лекция 4 Элементы квантовой статистики icon

Лекция 4 Элементы квантовой статистики


Скачать 92.56 Kb.
НазваниеЛекция 4 Элементы квантовой статистики
Дата публикации17.08.2013
Размер92.56 Kb.
ТипЛекция

Лекция 4

Элементы квантовой статистики



Квантовая и статистическая вероятности. Понятие вероятности одинаково широко применяется и в статистической физике и в квантовой меха­нике, однако смысл вероятности в этих разделах физики существенно отлича­ется. Если мы рассмотрим волну де Бройля, падающую на экран, то она описы­вает движение электрона с определенным импульсом, но с неопределенной координатой. Такой электрон с равной вероятностью может попасть в любую точку экрана. До попадания на экран даже у отдельного электрона не было определенной координаты.

В классической статистике, наоборот, мы имеем большое число одинаковых частиц – атомов или молекул, каждая из которых в данный момент времени находится в строго определенном месте и двигается с определенной скоростью. Здесь вероятность возникает в результате того, что мы рассматриваем макроскопические свойства больших систем, в которых детали движения отдельных атомов и молекул были несущественны. Тем самым можно ввести, например, распределение частиц по скоростям и говорить о доли частиц со скоростями в указанном интервале. Если мы имеем дело с ансамблем микрочастиц, то при его описании необходимо учитывать статистические свойства связанные и с их квантовым поведением, и с тем обстоятельством, что мы имеем большое число одинаковых частиц.

Проще всего формулировать и решать задачи статистической физики в терминах фазового пространства, с частным случаем которого – фазовой плос­костью, мы уже встречались при изучении нелинейных колебаний и автоколебаний. В общем случае фазовым пространством системы с s степенями свободы называется пространство, на координатных осях которого отложены значения s координат qi и s импульсов pi системы. Таким образом, размерность фа­зового пространства равна 2s. Произведение координат фазового пространства называется фазовым объемом. Каждому состоянию системы со­ответствует оп­ределенная точка фазового пространства (фазовая точка), а изме­нение состояния системы во времени описывается фазовой траекторией. В клас­сической физике положение фазовой точки можно указать сколь угодно точно.

В квантовой механике принцип неопределенности накла­дывает ог­раничение на точность определения фазовых координат. О фазовой точке можно лишь сказать, что она находится в элементарной ячейке фазового пространства объемом

. (4.1)

Таким образом, число квантовых состояний g, содержащихся в фазовом объеме , есть

. (4.2)

Квантовые идеальные газы. Изучение статистических свойств естественно начать с идеальных газов - простейших систем невзаимодействующих частиц. Каждая из N частиц идеального газа имеет 3 степени свободы. Поэтому размерность фазового пространства такого газа равна 6N. При этом фазовое пространство идеального газа разбивается на независимые подпростраства – координатное и импульсное, размерностью 3N каждое. Вероятность обнаружить частицу идеального газа в любой точке его объема одинакова, вследствие чего все фазовые ячейки координатного подпростраства заполнены одинаково.

Вычислим среднее число частиц, обладающих определенным значением импульса pi или энергии Ei . Эта величина

, (4.3)

называется заселенностью энергетического уровня. Здесь – число частиц с энергией в интервале от до , – число квантовых состояний в этом интервале энергий.

В классической статистике большинство свойств идеального газа не зависит от свойств составляющих его частиц. В квантовой механике частицы делятся на два класса – фермионы (или более полно – частицы подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака) и бозоны (частицы подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна), статистические свойства которых принципиально отличаются. Спин фермионов в единицах полуцелый: . Фермионы подчиняются принципу Паули. Фермионом является, например электрон. Электроны отрицательно заряжены, поэтому они могут образовать идеальный газ либо при большом разряжении и высоких температурах, либо когда их заряд скомпенсирован распределенным в пространстве положительным зарядом. Спин бозонов в единицах нулевой или целый: . Бозоны не подчиня­ются принципу Паули и в одном состоянии может находится любое их число. В частности, бозоном является фотоны, некоторые ядра, атомы 42He и некоторые другие частицы. Фотоны практически не взаимодействуют друг с другом и обра­зуют идеальный газ.

Кроме конечности объема элементарной фазовой ячейки квантовая статистика отличается от классической также и вследствие принципа неразличи-мости тождественных частиц, согласно которому состояния системы, отлича-ющиеся только перестановкой одинаковых частиц физически неразличимы. Поэтому даже невзаимодействующие квантовые частицы не явля­ются независи-мыми. Заселение занятого состояния фермионом вследствие прин­ципа Паули невозможно. В противоположность этому, заселенность состояния бозонами может быть произвольной. Это различие приводит к качественным отличиям в поведении систем невзаимо­действующих фермионов и бозонов при средних населенностях уровней близких к единице или превышают ее. Это и позволяет говорить о двух разных типах идеальных квантовых газов: бозе-газе и ферми-газе.

^ Распределение Бозе-Эйнштейна. Распределение Планка. Для бозонов зависимость средних чисел заполнения состояний с энергией Ei от абсолютной температуры T имеет вид

, (4.4)

где k – постоянная Больцмана, химический потенциал системы. Химическим потенциалом системы называется энергия, необходимая для удаления частицы из системы в изобарно-изотермических условиях. Для бозонов и, таким образом, показатель экспоненты при любой энергии неотрицателен. В пределе он растет и слагаемым –1 в знаменателе формулы (4.4) можно пренебречь. Распределение Бозе-Эйнштейна переходит в распределение Максвелла

. (4.5)

Здесь нормировочная константа , а, следовательно, и химический потенциал может быть найден из условия равенства суммы чисел заполнения числу частиц газа N

. (4.6)

Из уравнения (4.5) следует, что отношение населенностей определяется раз­ностью энергий уровней

(4.7)

и при T=0 населенным окажется только уровень с минимальной энергией. Это явление называется Бозе –конденсацией. Следует иметь в виду, что вещество при этом остается идеальным газом и к обычной конденсации газа в жидкость стрем­ление бозонов при понижении температуры собраться в одном квантовом со­стоя­нии не имеет отношения. Бозе –конденсация проявляется в таких макро­ско­пических физических явлениях как сверхпроводимость, сверхтекучесть, индуци­рованное излучение света. Эти явления составляют основу технического прогресса в ряде направлений техники.


Для фотонов, например, = 0 , и распределение (4.4) значительно упрощается и принимает вид распределения Планка.

. (4.8)

Фононы. В лекции 5 книги [4] мы рассматривали распространение волн в сплошной упругой среде отвлекаясь от ее внутренней структуры. Для газов жидкостей и аморфных сред это приближение не приводит к искажению качественной картины явления. Однако при исследовании распространение волн в кристаллах и их теплоемкости не учитывать периодическую структуру вещества уже нельзя.

Как и в любой системе, распространение волны в кристаллах происходит за счет упругого взаимодействия его соседних элементов. В кристаллах упругими силами связаны между собой атомы. Они могут совершать колебания двух видов. Особенно просто выглядят эти колебания при распространении волн большой длины.

В одном случае соседние атомы, расположенные на отрезке много меньшем длины волны, колеблются в противоположной фазе. Центр тяжести элементарной ячейки кристалла при таких колебаниях остается неподвижным, что соответствует синфазной моде (см. лекцию 2 в [4]). Если решетка состоит из чередующихся атомов двух типов, то происходит колебание одной подрешетки относительно другой. Эти колебания называют оптическими. Оптические колебания не могут быть описаны в модели сплошной среды.

Другой вид колебания вызывается однонаправленным смещением атомов в кристаллической решетке, при котором не изменяется расстояние между соседними атомами (синфазная мода). В пределе больших длин волн эти колеба­ния приводят к осцилляции решетки как целого. При таких колебаниях кристал­лическая решетка может быть аппроксимирована сплошной однородной моделью. С такими колебаниями связаны звуковые волны.

Внутреннее движение среды может быть описано двумя способами. Во - первых, как сделано выше можно определить относительное движение составляющих частиц среду частиц. Во – вторых, возможен коллективный способ, при котором движение внутреннее движение среды рассматривается как результат наложения движений, в каждом из которых участвуют все частицы. В частности, возможно и такое разложение полного движения, при котором каждое коллективное движение может быть возбуждено отдельно. Так например, если энергия внутреннего движения кристалла невелика, то оно всегда может быть разложено на плоские монохроматические волны, распространяющиеся независимо друг от друга. Согласно гипотезе де Бройля с монохроматической волной связана частица (квант), энергия которой связана с частотой волны соотношением

. (4.9)

Квант звуковой волны называется - фононом. Свойства фононов близки к свойствам фотонов. Так, энергия фононов связана с их частотой также как и у фотонов (уравнение 4.9). Фононы, как и фотоны, подчиняются статистике Бозе. На языке фононов разогрев кристаллической решетки означает повышение температуры фононного газа. При малых амплитудах колебаний в идеальных кристаллах оптические и звуковые колебания можно считать независимыми. Также не взаимодействуют между собой в этом случае и различные фононы, вследствие чего фононный газ можно считать идеальным. Тогда его функция распределения описывается формулой, подобной формуле Планка для спектральной плотности фотонов, излучаемых абсолютно черным телом (4.8). В реальных кристаллах условия идеальности фононного газа хорошо выполняются в обычных условиях.

Фононы обладают характерными свойствами частиц, однако не являются фундаментальными частицами, а возникают как возбуждение в конденсированной среде. Поэтому фононы называют квазичастицами.

^ Распределение Ферми-Дирака. Если бозе-частицы при переходят все в одно основное состояние, то для фермионов – частиц с полуцелым спином нахождение двух частиц в одном квантовом состоянии запрещено принципом Паули. Соответственно распределение фермионов по энергиям имеет более протяженный характер. Оно записывается в виде

(4.10)

и называется распределением Ферми-Дирака. Химический потенциал в распределении (4.10) может быть как отрицательным, так и положительным. При этом, поскольку при любом аргументе , в полном соответствии с принципом Паули . При больших энергиях возбуждения оно также как и (4.4) переходит в классическое распределение Максвелла.

Рис. 4.1.

При равной абсолютному нулю температуре значение функции скачком меняется в точке . Если то , а при числа заполнения равны нулю: . Тем самым распределение приобретает вид ступеньки (сплошная линия на рис. 4.1).

При переход от заполненных состояний к состояниям с нулевыми числами заполнения происходит в окрестности шириной химического потенциала, и ступенька размывается (пунктир на рис. 4.1).

^ Электронный газ в металлах. Электроны в металле ведут себя близко к идеальному ферми-газу, поскольку их взаимное отталкивание почти полностью компенсируется полем положительно заряженных ионов кристаллической решетки. При малых температурах все состояния с энергией оказываются заполненными электронами. Величина носит в этом случае название энергии Ферми и обозначается .


Рис.4.2.

Поэтому количество состояний, энергия которых меньше энергии Ферми, совпадает с количеством электронов. Фазовый объем для одной частицы идеаль­ного газа есть произведение геомет­риче­ского объема V на объем в пространстве импульсов . Поскольку энергия не зависит от направле­ния импульса, элемен­тарный фазовый объем, соответствую­щий интервалу энергий, получается суммированием эле­ментарных объемов , находя­щихся на фиксирован­ном расстоянии от точки . Результатом суммирования является шаро­вой слой (рис. 4.2). Учитывая два возможных значения спинового числа, для количества электронов в объеме V получим выражение . Для плотности электронов dN/V с учетом связи между импульсом и энергией будем иметь

. (4.11)

Общее число электронов проводимости в единице объема металла можно найти, проинтегрировав выражение (4.7):

. (4.12)

Если взять типичную концентрацию электронов в металле n = 6·1028 м-3, то

= 9·10-19 Дж = 5,4 эВ. (4.13)

В обычном не квантовом газе такая энергия достигается молекулами при T ~ 104 К.


Вопросы для самопроверки

  1. Чем отличаются вероятности в статистической физике от вероятностей в квантовой механике?

  2. Почему в определенном фазовом объеме имеется конечное число квантовых состояний?

  3. Постройте график распределения Бозе-Эйнштейна.

  4. Как связаны между собой распределение Бозе-Эйнштейна и формула Планка?

  5. Чем отличается фотон от фонона?

  6. Как выглядит распределение Ферми-Дирака при ?

  7. Почему электрон проводимости в металле можно рассматривать как идеальный ферми-газ?


Вопросы экзаменационных билетов

  1. Квантовомеханическая и статистическая вероятности.

  2. Квантовые идеальные газы.

  3. Распределение Бозе-Эйнштейна.

  4. Распределение Ферми-Дирака.

  5. Электронный газ в металлах.



Похожие:

Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconЛекция 4 Элементы квантовой статистики
Бройля, падающую на экран, то она описы­вает движение электрона с определенным импульсом, но с неопределенной координатой. Такой...
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconЛекция 6 нелинейные реактивные элементы нелинейные индуктивные элементы
Нелинейные индуктивные элементы представляют собой катушки, намотанные на сердечник из ферромагнитного материала
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconСавюкЛ. К. С12 Правовая статистика: Учебник
«Правовая статистика». Раскрываются предмет правовой статистики как отрасли социальной статистики, основные понятия и категории статистической...
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconЛекция 3 нелинейные цепи нелинейные элементы цепи
Нелинейными электрическими цепями являются цепи, параметры которых зависят от тока и напряжения, т е содержат нелинейные элементы...
Лекция 4 Элементы квантовой статистики icon2. элементы математической статистики 1 Статистические оценки параметров распределения
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
Лекция 4 Элементы квантовой статистики icon8. Орієнтований перелік питань підсумкового контролю
Предмет, об’єкт, метод і задачі статистики. Організація державної статистики в Україні
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconТема основні поняття, предмет та методи статистики
Це відноситься і до статистики – однією з основних дисциплін в системі економічної освіти і найважливішою для тих, хто вибрав статистику...
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconБывший директор нии статистики Василий Симчера со словами: «Надоело врать!» представил реальные данные
Ладно, переживем. Тем более что сами-то мы уже давно оцениваем окружающую нас жизнь своим мерилом. Но чтобы она врала так, как это...
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconСтатистичний щорічник Полтавської області за 2010 рік / За ред. Безхлібняк Людмили Миколаївни // Державний комітет статистики України, Головне управління статистики у Полтавській області. – Полтава: «Полтавський літератор», 2011. – 408 с
С. 79 Кількість діючих підприємств за організаційно-правовими формами господарювання у 2010 р
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconАйзек А. Азимов О времени, пространстве и других вещах. От египетских календарей до квантовой физики
О времени, пространстве и других вещах. От египетских календарей до квантовой физики
Лекция 4 Элементы квантовой статистики iconЛекция по дисциплине: «Социология» Тема 1
Социология изучает общество, рассматриваемое как общность индивидов и взаимосвязей между ними. Предметом её изучения являются структуры...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы