Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. icon

Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О.


Скачать 91.65 Kb.
НазваниеЛьвівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О.
Дата публикации08.10.2014
Размер91.65 Kb.
ТипМетодичні вказівки


Львівський державний університет безпеки життєдіяльності

МНС України

Кафедра фундаментальних дисциплін


Стасюк М.Ф., Карабин О.О.,

Меньшикова О.В., Трусевич О.М.


Методичні вказівки та завдання

до розрахункової роботи

з вищої математики


Елементи лінійної та векторної алгебри

та аналітичної геометрії


для студентів та курсантів I-го курсу


Львів 2007

Стасюк М.Ф., Карабин О.О., Меньшикова О.В., Трусевич О.М. Методичні вказівки та завдання до розрахункової роботи з вищої математики .Елементи лінійної та векторної алгебри та аналітичної геометрії. Для студентів та курсантів I-го курсу


Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін Львівського державного університету безпеки життєдіяльності МНС України. Протокол № ____ від “__” ____________ 2007 року.


^ 2007, Стасюк М.Ф., Карабин О.О., Меньшикова О.В., Трусевич О.М.


Важливим фактором в засвоєнні математики і оволодіння її методами є самостійна робота студента (курсанта). Система типових розрахунків активізує самостійну роботу студентів і сприяє більш глибокому вивченню курсу вищої математики. Застосування системи типових розрахунків рекомендовано програмою з вищої математики для вузів.

Даний методичний посібник містить теоретичні питання і розрахункову частину задачі. Теоретичні питання є спеціальними для всіх студентів, задачі для кожного студента групи індивідуальні (кожна задача складена в 31 варіанті).


Рекомендована література


  1. А.Д.Кузик., О.М.Трусевич, О.О. Карабин. Аналітична геометрія. – ЛДУ БЖД.– 2006.– 101 с.

  2. В. П. Дубовик, І. І. Юрик. Вища математика. – АСК. – К. 2001. – 647 С.

  3. В. П. Дубовик, І. І. Юрик. Вища математика. Збірник задач – АСК. – К. 2001. – 479 С.

  4. П. П. Овчинников, Ф.П. Яремчук, В. М. Михайленко. Вища математика. – Ч. 1, 2. – К. “Техніка”. – 2000.

Теоретичні питання

  1. Матриці та дії над ними.

  2. Визначники матриць, їх властивості.

  3. Розв'язування систем лінійних рівнянь матричним способом і по правилу Крамера.

  4. Вектори. Лінійні дії над векторами.

  5. Скалярний добуток двох векторів, його властивості, застосування.

  6. Векторний добуток двох векторів: означення, властивості, застосування,

  7. Мішаний добуток трьох векторів: означення, властивості, застосування.

  8. Площина. Векторна і координатна форми рівняння площини. Кут між двома площинами. Віддаль від точки до площини.

  9. Пряма в просторі. Векторне, параметричне, канонічне рівняння прямої.

  10. Основні задачі на пряму і площину.

Приклади розв’язання розрахункових завдань


Завдання №1. Розв’язати систему лінійних рівнянь:

(1)

а) методом Гауса;

б) методом Крамера;

в) матричним методом.


Розв’язання

а) Виконаємо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці системи:



Ці перетворення не змінюють розв’язків системи (1), тобто є еквівалентними і позначаються символом «». В даному прикладі їх можна описати в такий спосіб:

  • перший рядок матриці залишаємо без змін;

  • до другого рядка додаємо перший помножений на (-2);

  • міняємо місцями другий і третій рядок;

  • множимо другий рядок на 0,5;

  • до третього рядка додаємо другий помножений на (-3);

  • множимо третій рядок на 2.

За останньою розширеною матрицею складаємо еквівалентну до (1) систему рівнянь:

(2)

З системи (2) послідовно виключаємо невідомі: . Отже трійка чисел – єдиний розв’язок системи (2), а отже і (1).

Перевірка

Переконаємося, що розв’язок знайдений вірно, підставивши його в кожне з рівнянь системи (1). Отримаємо тотожності:




б) Обраховуємо послідовно головний та допоміжні визначники системи (1):







Тоді, за правилом Крамера, маємо:



Як бачимо, розв’язок отриманий методом Крамера, співпадає з попереднім, отриманим методом Гауса.


в) Запишемо систему (1) в матричній формі:

, (3)

де



Оскільки – невироджена матриця , то існує обернена до неї матриця . Тоді, як відомо, єдиний розв’язок системи лінійних рівнянь (1) можна знайти у вигляді:

(4)

Шукаємо матрицю . Нагадаємо її структуру:



де – алгебраїчні доповнення до елементів матриці .

Далі маємо:





Тому



Отже за формулою (4) остаточно отримуємо:



тобто трійка чисел: , як і в попередніх двох випадках, є розв’язком системи лінійних рівнянь (1).


Завдання №2. Задані точки: , Потрібно знайти:

а) кут між векторами і ;

б) площу паралелограма, побудованого на векторах і , де

в) з’ясувати лінійну залежність векторів де ;

г) знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах де .


Розв’язання

а) Знайдемо спочатку вектори і за координатами їх початку і кінця:



Обчислимо довжини цих векторів:



і їх скалярний добуток:



З означення скалярного добутку векторів отримуємо:



де – кут між векторами і . Отже,



б) Площа паралелограма, побудованого на векторах і , обчислюється з допомогою векторного добутку

(5)

Знайдемо вектори



та векторний добуток в координатній формі



Обраховуючи довжину векторного добутку за формулою (5), маємо:

(кв. од.).

в) Знайдемо вектор де Як і в попередній задачі, маємо



Обчислимо мішаний добуток векторів і в координатній формі:



Отже, вектори – некомпланарні, тобто лінійно незалежні.

г) Як відомо, об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах і , обчислюється за допомогою мішаного добутку векторів, а саме:

. (6)

Обчислимо цей добуток:



Тому за формулою (6) маємо

(куб. од).

Об’єм цього паралелепіпеда можна знайти й іншим шляхом, якщо зауважити, що вектор . Тоді



(скалярний квадрат був порахований в задачі 2б)).


Завдання №3.. Задано точки : , . Написати:

а) канонічне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до вектора

б) рівняння площини , що проходить через точку , перпендикулярно до вектора

в) рівняння площини , що проходить через точки ;

г) знайти кут між площинами і ;

д) якщо , записати канонічне рівняння прямої, що утворюється в результаті перетину площин і .


Розв’язання

а) Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до вектора має вигляд:



Оскільки і то шукане рівняння запишеться так:



б) Запишемо рівняння площини , використовуючи рівність нулю скалярного добутку взаємно перпендикулярних векторів і , де – біжуча точка площини . Далі маємо:



Тоді отримуємо:



Отже, – загальне рівняння площини .

в) Рівняння площини , що проходить через точки як відомо, має вигляд:

(7)

Зауважимо, що рядками визначника (7) є координати векторів відповідно, де – біжуча точка площини . Розкривши визначник в лівій частині рівності (7) за елементами першого рядка, прийдемо до загального рівняння площини :



або остаточно



г) Кут між площинами і – це кут між нормальними векторами і цих площин. Знайдемо ці вектори:



Використовуючи скалярний добуток векторів і , отримуємо:



тобто і площини , – взаємно перпендикулярні.

д) Щоб записати канонічне рівняння лінії перетину площин і потрібно знайти:

  • напрямний вектор прямої ;

  • яку-небудь точку перетину цих площин (прямої ).

За напрямний вектор можна взяти векторний добуток векторів і (див. пункт г)). Знайдемо вектор в координатній формі:

.

Спільною точкою площин і є, наприклад, точка .

Тому канонічним рівнянням прямої (див. задачу 3а)) є наступне рівняння:




Варіанти завдань

Завдання №1

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь:


а) методом Гауса;

б) методом Крамера;

в) матричним методом.


1. 2.


3. 4.


5. 6.


7. 8.


9. 10.


11. 12.


13. 14.


15. 16.


17. 18.


19. 20.


21. 22.


23. 24.


25. 26.


27. 28.


29. 30.


31.


Завдання №2


Задано точки , , , . Знайти:

а) кут між векторами , ;

б) площу паралелограма, побудованого на векторах та , де , ;

в) з’ясувати лінійну залежність векторів , де ;

г) знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , де .


  1. M(1;1;1), N(0;2;3), P(1;4;-2), Q(2;-3;1).

  2. M(-1;1;1), N(2;0;3), P(4;1;-2), Q(-3;1;2).

  3. M(1;-1;1), N(3;2;0), P(-2;4;-1), Q(1;-3;2).

  4. M(1;1;-1), N(2;3;0), P(1;-2;4), Q(-3;2;1).

  5. M(3;-4;5), N(1;0;1), P(0;-2;3), Q(2;6;0).

  6. M(-4;3;5), N(0;1;1), P(0;3;-2), Q(2;0;6).

  7. M(-4;5;3), N(1;1;0), P(-2;0;3), Q(6;2;0).

  8. M(3;5;-4), N(1;1;0), P(-2;3;0), Q(6;0;2).

  9. M(3;-4;5), N(1;0;1), P(0;-2;3), Q(2;6;0).

  10. M(5;-4;3), N(0;1;1), P(3;-2;0), Q(0;6;2).

  11. M(7;3;-2), N(1;-1;3), P(3;-1;-2), Q(3;-2;1).

  12. M(7;-2;3), N(1;3;-1), P(3;-2;-1), Q(3;1;-2).

  13. M(3;7;-2), N(-1;1;3), P(-1;3;-2), Q(-2;3;1).

  14. M(3;-2;7), N(-1;3;1), P(-1;-2;3), Q(-2;1;3).

  15. M(-2;7;3), N(3;1;-1), P(-2;3;-1), Q(1;3;-2;).

  16. M(-2;3;7), N(3;-1;1), P(-2;-1;-3), Q(1;-2;3).

  17. M(1;9;-6), N(4;5;6), P(1;7;0),Q(7;8;9).

  18. M(1;-6;9), N(4;6;5), P(1;0;7), Q(7;9;8).

  19. M(9;1;-6), N(5;4;6), P(7;1;0), Q(8;7;9).

  20. M(9;-6;1), N(5;6;4), P(7;0;1), Q(8;9;7).

  21. M(-6;1; 9), N(6;4; 5), P(0;1; 7), Q(9;7; 8).

  22. M(-6;9;1), N(6;5;4), P(0; 7;1), Q(9; 8;7).

  23. M(0;1; -3), N(1;5;3), P(1;2;-5), Q(-4;3;0).

  24. M(0; -3;1), N(1;3;5), P(1;-5;2), Q(-4; 0;3).

  25. M(1;0; -3), N(5;1;3), P(2;1; -5), Q (3;-4; 0).

  26. M(1; -3;0), N(5; 3;1), P(2; -5;1), Q (3; 0;-4).

  27. M(-3;0; 1), N(3;1; 5), P(-5;1; 2), Q (0;-4; 3).

  28. M(-3; 1;0), N(3; 5;1), P(-5; 2;1), Q (0; 3;-4).

  29. M(1;7; 1), N(1;2; 1), P(0;3; 0), Q (6;4; 5).

  30. M(1;-7; 1), N(1;-2; 1), P(3;0; 3), Q (4; 5;6).

  31. M(9;1;-6), N(5;4;6), P(7;1;0), Q(8;7;9).


Завдання №3


Задано точки , , , (див. завд. 2). Написати:

а) рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно до вектора ;

б) рівняння площини , що проходить через точку N перпендикулярно до вектора ;

в) рівняння площини , що проходить через точки N, P, Q;

г) знайти кут між площинами , ;

д) якщо , знайти канонічне рівняння прямої, що утворюється в результаті перетину площин , .




Похожие:

Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconЛьвівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О.
Стасюк М. Ф., Карабин О. О., Меньшикова О. В., Трусевич О. М. Методичні вказівки та завдання до розрахункової роботи з вищої математики....
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconАкція «Зроби світ чистіше! Почни з себе!»
Профком студентів та аспірантів ону імені І. І. Мечникова, кафедра медичних знань та безпеки життєдіяльності за підтримки Науково-методичної...
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconМіністерство внутрішніх справ україни харківський національний університет внутрішніх справ Факультет права та масових комунікацій Кафедра кримінально-правових дисциплін затверджую
Тема: Кримінально-правова характеристика злочинів в сфері кредитно-фінансової, банківської та бюджетної систем України
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconМіністерство внутрішніх справ україни харківський національний університет внутрішніх справ Факультет права та масових комунікацій Кафедра загальноправових дисциплін
Розробники: Юшкевич О. Г., Харків, Харківський національний університет внутрішніх справ, 2013
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад криворізький національний університет затверджую
Програма складена на підставі дисциплін циклу професійної підготовки бакалаврів, передбачених освітньо-професійною програмою за напрямом...
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconМіністерство освіти І науки україни київський університет туризму, економіки І права юридичний факультет Кафедра загальноюридичних та кримінально-правових дисциплін
Робоча програма залікового кредиту для студентів ІІ курсу напряму підготовки «маркетинг/облік І аудит» денної форми навчання
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни міністерство внутрішніх справ україни луганський державний університет внутрішніх справ імені е. О. Дідоренка кафедра кримінального процесу та правосуддя
Робоча програма навчальної дисципліни «Кримінальний процес» для студентів, курсантів, слухачів за напрямом підготовки/спеціальністю...
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconЗатверджую” Перший проректор з науково-педагогічної роботи, д мед н., професор В. В. Сімрок моз україни дз «Луганський державний медичний університет» Кафедра внутрішньої медицини Дисципліна – внутрішні хвороби
Факультет післядипломної освіти, спеціальність «внутрішні хвороби», інтернатура
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconЗатверджую” Перший проректор з науково-педагогічної роботи, д мед н., професор В. В. Сімрок моз україни дз «Луганський державний медичний університет» Кафедра внутрішньої медицини Дисципліна – внутрішні хвороби
Факультет післядипломної освіти, спеціальність «внутрішні хвороби», інтернатура
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconЗатверджую” Перший проректор з науково-педагогічної роботи, д мед н., професор В. В. Сімрок моз україни дз «Луганський державний медичний університет» Кафедра внутрішньої медицини Дисципліна – внутрішні хвороби
Факультет післядипломної освіти, спеціальність «внутрішні хвороби», інтернатура
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності мнс україни Кафедра фундаментальних дисциплін Стасюк М. Ф., Карабин О. О. iconЗатверджую” Перший проректор з науково-педагогічної роботи, д мед н., професор В. В. Сімрок моз україни дз «Луганський державний медичний університет» Кафедра внутрішньої медицини Дисципліна – внутрішні хвороби
Факультет післядипломної освіти, спеціальність «внутрішні хвороби», інтернатура
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы