Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости icon

Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости


Скачать 305.66 Kb.
НазваниеПараметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости
страница1/3
Дата публикации13.10.2014
Размер305.66 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3

Лекция 7.

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.


Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.


Определение 7.1. Уравнение

Ф(х,у) = 0 (7.1)

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.


Пример.

(х – а)² + (y – b)² = R² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).


Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

, (7.2)

где функции и непрерывны по параметру t.


Прямая на плоскости.


Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где ^ М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х – х0) + В(у – у0) = 0 - (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.


Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.

Обозначив -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

, (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М111) и М222), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

- (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

- общее уравнение данной прямой.


Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x0 + lt, y = y0 + mt - (7.7)

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l прямой в виде:

у = kx + b - (7.8)

b l1 уравнение прямой с угловым коэффициентом.

α α Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей

х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а

ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

на постоянную величину b.


^ Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

  1. С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

  2. В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

  3. А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

  4. В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

  5. А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.


Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

Ах + Ву + С = 0 |:(-C), (7.9)

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.


Угол между прямыми. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых.


1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,

. (7.10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

- условие параллельности, (7.11)

- условие перпендикулярности. (7.12).

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

, (7.13)

- условие параллельности, (7.14)

- условие перпендикулярности. (7.16).

Здесь и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где , а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда

. (7.17)

Условие параллельности имеет вид: k1=k2, (7.18)

условие перпендикулярностиk2=-1/k1, (7.19)

поскольку при этом tgφ не существует.


Расстояние от точки до прямой.


Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

у Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку

Р n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что

n M x cosα + y sinα = p, или

О х x cosα + y sinα ­­- p = 0 - (7.20)

- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).


Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.


Теорема 7.1. Отклонение точки А(х00) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

. (7.21)

Доказательство.

у Q Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна

P A n·OA=x0cosα + y0sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

n x0cosα + y0sinα - p, что и требовалось доказать.

O

L


Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

(7.22).


Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена ^ С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.


Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.


Лекция 8.

Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.


Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.


^ Плоскость в пространстве.


Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М00 0 ,z0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.


Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

  1. D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

  2. А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

  3. В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

  4. С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

  5. А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

  6. А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

  7. B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

  8. А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

  9. B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

  10. C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

  11. A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

  12. A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

  13. B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

(8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.


^ Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности плоскостей.


Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:

A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (8.6)


Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М1(х1, у1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М2={x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, М1М3={x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1} и М1М={x - x1, y - y1, z - z1}, где М(x, y, z)произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

(8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

, (8.9)

где x0,y0,z0 – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

  1   2   3



Похожие:

Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconПараметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости
Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние...
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости icon1. Предмет начертальной геометрии (что изучает ? )
Взаимное положение прямой линии и плоскости. Линии уровня плоскости. Задачи на принадлежность
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconУравнения прямой в пространстве
Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в...
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconБилеты по теория вероятности и математической статистике
Векторное и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Отрезок прямой. Деление отрезка...
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconДифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения...
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconКасается графика функции
Прямая y=5x−7 касается графика функции y=6x2+bx−1 в точке с абсциссой меньше Найдите b
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconПрототип задания B8 (№27485)
Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости icon0 Уравнения колебаний
Колебания струны, закрепленной на концах струны и имеющей в начальный момент форму ломаной линии. Начальные скорости отсутствуют
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconНайти область определения функции и изобразить её на плоскости
Область определения функции – это множество вертикальных полос в верхней полуплоскости, ширина которых равна. Границы полос в область...
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconПерпендикулярен плоскости. Тогда значение
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, имеет вид…
Параметрические уравнения линии:, 2) где функции и непрерывны по параметру t. Прямая на плоскости iconУкажите промежуток,которому принадлежит корень уравнения log4(x-5)=log25
Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при которых область определения функции
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы