Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений icon

Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений


Скачать 182.57 Kb.
НазваниеУчебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений
Дата публикации05.11.2013
Размер182.57 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»


КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА


Учебно-методическое пособие

для студентов I курса дневного и заочного отделений

физико-математического факультета


Воронеж 2012


УДК 513 (075.8)


Составитель:


Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина


Кривые второго порядка

Лекция №1

§1. Эллипс

1. Определение эллипса и его уравнение

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a > ǀF1F2ǀ=2c.

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием.

Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2. Для того чтобы составить уравнение эллипса на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F1F2] . Ось Ох расположим таким образом, чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси.


F2

F1

M


Рис.1.

В этом случае фокусы эллипса принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). (см. Рис.1.) Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда, по определению, │МF1│+ │МF2│ = 2a. (1)

По формуле вычисления расстояния между точками имеем: , . Таким образом из (1) =>

. Запишем полученное выражение в виде и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных членов, получаем . Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем: . (2)



Учитывая, что > обозначим (3)



и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на получаем, что если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению

(4)

Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М111) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит эллипсу.

Пусть для точки М111) справедливо равенство (5)

Из (5) следует: (6)

Вычислим

=> .

Заметим, что величина стоящая под знаком модуля положительна не только при < 0, но и при > 0 так как с < и из (6) => .

Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим . => => точка М1 принадлежит эллипсу.

Таким образом, уравнение (4) является уравнением эллипса, которое называется каноническим уравнением эллипса.

[MF1] ─ называется первым фокальным радиусом эллипса; .

[MF2] ─ называется вторым фокальным радиусом эллипса; .

Заметим, что если F1= F2 , то с = 0 и => => окружность частный случай эллипса.

2. Исследование формы эллипса по его уравнению

Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением (4) .

Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (4). => Эллипс не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох : => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох : и .

в) Найдём точки пересечения эллипса с осью Оу : => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох : и .

г) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Оу.

На основании г) и д) можно сделать вывод, что эллипс симметричен относительно начала системы координат.

е) Из уравнения (4) , => и => Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми и .

ж) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом у от 0

до величина х убывает от до 0.

з) => => =>

<0 => Если , то , то есть функция выпукла вверх. Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, получаем изображение эллипса (Рис.2.).



Рис.2

Точки А1, А2, В1, В2 ─ называют вершинами эллипса. [A1A2] ─ большой осью эллипса, [B1B2] ─ называют малой осью эллипса. Числа и называют полуосями эллипса.


3.Эксцентриситет эллипса

Рассмотрим эллипс с фокусами в точках F1 и F2 , большой полуосью которого является [A1A2].

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное .

Так как , то ε > 0. Для окружности => ε = 0.

Пусть эллипс задан уравнением , тогда => => => . => Эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса.



Рис.3.

При ε = 0 получаем , что указывает на то, что в этом случае

эллипс является окружностью. При стремлении ε к единице отношение полуосей становится меньше и стремится к нулю. Зафиксируем значение большой полуоси эллипса и пусть ε → 0. Изменение формы эллипса, в этом случае показано на Рис.3.

ВЫВОД. Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси.

4.Параметрические уравнения эллипса

Построим на плоскости две окружности с центрами в начале координат и радиусами и . Проведём луч из начала координат, и пусть он пересечёт первую окружность в точке N1, а вторую ─ в точке N2. (Рис.4.)



Рис.4.

Через точку N1 Проведём прямую ℓ1|| (Оу), а через точку N2 ─ прямую ℓ2|| (Ох). Пусть М(х;у) = ℓ1 ∩ ℓ2 . Обозначим через α = А1ОN1, тогда

(6)

Разделив первое равенство системы (6) на , а второе на , после возведения полученных равенств в квадрат и сложения их получаем:

=> Точка М(х;у) принадлежит эллипсу.

Соотношения (6) называют параметрическими уравнениями эллипса.

5.Построение точек эллипса



Рис.5.

Построить эллипс с полуосями и можно на основании параметрических уравнений эллипса. Этапы построения следующие:

а) Строим две соосные окружности с радиусами и .

б) Проводим произвольный луч с началом в центре окружностей.

в) Точки эллипса М получаем как точки пересечения прямой параллельной оси (Ох) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса с прямой, параллельной оси (Оу) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса . (См. Рис.5).

Лекция №2

§2 Гипербола

1. Определение гиперболы и её уравнение

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a < ǀF1F2ǀ=2c.

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием.

Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2. Для того чтобы составить уравнение гиперболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F1F2].
M


Рис.6.

Ось Ох расположим таким образом чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси. (Рис.6)

В этом случае фокусы гиперболы принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению││МF1│- │МF2││ = 2a. (1)

По формуле вычисления расстояния между точками имеем: ; . Таким образом из (1) =>

. Запишем полученное выражение в виде и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных получаем . Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем: . (2)

Учитывая, чтои , обозначим





и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на получаем, что если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению





(4)


Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М111) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит гиперболе.

Пусть для точки М111) справедливо равенство (5)

Из (5) следует: (6)

Вычислим

=> .

Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим .

Заметим, что из (6) следует, что .

Рассмотрим случай, когда x > 0. В этом случае и, так как ,то и . => , то есть точка М1 принадлежит гиперболе.

Пусть теперь х < 0. В этом случае , откуда следует, что и . Таким образом, и . В результате получаем, что точка М1 принадлежит гиперболе , так как .

Таким образом, уравнение (6) является уравнением гиперболы, которое называется каноническим уравнением гиперболы.

[MF1] ─ называется первым фокальным радиусом гиперболы; . [MF2] ─ называется вторым фокальным радиусом гиперболы; .

Заметим, => такая гипербола называется равнобочной.

2. Исследование формы гиперболы по её уравнению

Пусть дан гипербола своим каноническим уравнением (6) .

Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (6). => Гипербола не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох : => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох : и .

в) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу : => => Гипербола не имеет точек пересечения с осью Оу . .

г) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит гиперболе . => Гипербола симметрична относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что гипербола симметрична относительно начала системы координат.

е) Из уравнения (6) , => => Все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми .

ж) Выясним вопрос о взаимном расположении гиперболы с прямой , проходящей через начало координат. Для этой цели необходимо исследовать вопрос о существовании решений системы .

Подставив из уравнения прямой в уравнение гиперболы, получаем:

. (7)

Действительные решения этого уравнения возможны в трёх случаях:

1) > 0. Уравнение имеет два действительных решения:

, .

В этом случае прямая пересекает гиперболу в двух, симметричных относительно начала координат, точках:

, .

2) 0. В этом случае уравнение (7) не имеет действительных решений. Геометрически это означат, что прямые не пересекаются с гиперболой.

Полученные результаты показывают, что если построить прямоугольник М1М2М3М4 сторонами и , так, чтобы стороны его были параллельны осям координат, а центр симметрии совпадает с началом системы координат, то прямые, проходящие через начало координат и расположенные внутри вертикальных углов М1ОМ2 и М3ОМ4, пересекают гиперболу.


х


Рис.7.

Таким образом, все точки гиперболы находятся в заштрихованных на рисунке 7 областях.

Заметим, что прямые ℓ1 и ℓ2 имеют уравнения : .

Выясним, каково поведение гиперболы по отношению к этим прямым. Так как гипербола симметричнее относительно осей координат, то достаточно рассмотреть её поведение в первой четверти.




mm


Рис.8.

Проведём произвольную прямую ℓ перпендикулярно оси х. Пусть эта прямая имеет уравнение . Прямая ℓ пересекается с гиперболой в точке М. Для нахождения координат точки М необходимо решить систему:

.

Таким образом, точка М имеет координаты: . Если , то эти координаты действительны. Координаты точки L ─ точки пересечения прямой ℓ с прямой , принимают значения . Так как , то точка L лежит выше точки М. =>



.

Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую m. │ MN│<│LM│

=> . Выясним как ведёт себя│ MN│ при неограниченном росте параметра .

=> Точки гиперболы по мере удаления от оси Оу неограниченно приближаются к прямым , но не пересекают их. Прямые называются асимптотами гиперболы.

з) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом х величина у возрастает от 0 до ∞.

Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, получаем изображение гиперболы (Рис.9).




Рис. 9.

Точки А1, А2, ─ называют вершинами гиперболы. [A1A2] ─ действительной осью гиперболы, [B1B2] ─ называют мнимой осью гиперболы. Числа и называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. (Рис.9)

3.Эксцентриситет гиперболы

Рассмотрим гиперболу с фокусами в точках F1 и F2 , действительной осью которой является [A1A2].

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число, равное .

Так как , то ε > 1. Пусть гипербола задана уравнением , тогда => => . => Эксцентриситет определяется отношением полуосей гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше углы, образуемые асимптотами, в которых лежит гипербола и тем больше гипербола «вытягивается» вдоль своей действительной оси. Рис.10




Рис.10.

5.Построение точек гиперболы

Если для гиперболы заданы положения её вершин A1 , A2 и фокусов F1, F2, то её можно построить следующим образом:

а) Строим окружность ω1(F1,R1) с центром в правом фокусе F1 произвольным радиусом R1.

б) Строим окружность ω2(F2,R2) с центром в левом фокусе F2 радиусом R2 = R1+[A1A2].

в) В этом случае точка М =ω1 ∩ ω2 принадлежит гиперболе, так как для этой точки ||F1M| ─|F2M|| = |A1A2| =2a.

Повторяя, построения а), б) и в) несколько раз можно получить необходимое число точек для построения правой ветви гиперболы.



Рис.11.

Левую ветвь гиперболы можно построить аналогично, поменяв фокусы F1 и F2 местами.

Лекция №2

§3. Парабола

1. Определение параболы и её уравнение

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через данную точку F.

Точка F называется фокусом параболы, а прямая d ─ директрисой параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается: .



Рис.12.

Для того чтобы составить уравнение параболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, ось (Ох) которой выберем проходящей через фокус F параболы перпендикулярно директрисе d. Пусть D─ точка пересечения оси (Ох) с директрисой d. Начало системы координат выберем в точке, являющейся серединой отрезка [FD]. (
F1

M


Рис.12.)


(7)
В этом случае фокусы параболы принимает координаты ,а директриса определяется уравнением . Пусть М(х;у) ─ произвольная точка параболы. Тогда, по определению, . Учитывая, формулы расстояния между двумя точками и расстояния от точки до прямой, получаем. . Возведём это равенство в квадрат. =>

Таим образом, получаем, если точка М(х;у) принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению .

Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М111) удовлетворяют уравнению (7), то точка М1 принадлежит параболе.

И так, пусть для координат точки М1 выполнено условие: . Вычислим . => => => параболе. Таким образом, уравнение (7) является уравнением параболы.

2. Исследование формы параболы по его уравнению

Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (7).

Для определения вида кривой заданной уравнением (7), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (7). => Парабола проходит через начало координат.

б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (7) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох.

в) Если , то все точки параболы расположены в полуплоскости .

г) Продифференцируем равенство по х: . => При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.

д) Продифференцировав выражение по переменной х, получаем: . => Кривая при у > 0 ─ выпукла, а при у < 0─ вогнута.



Рис. 13.

Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис. 13.

3.Построение точек параболы

Построить параболу с фокусом в точке F и директрисой d можно следующим образом.

а) Через фокус F проводим прямую (Ох), перпендикулярную директрисе d.

б) Строим вершину параболы, то есть точку О, которая является серединой отрезка [ON], где N точка пересечения директрисы и (Ох) .



Рис. 14.

в) Проводим произвольную прямую ℓ параллельную директрисе.

г) Строим окружность , где . Точка М= ω∩ℓ принадлежит параболе с фокусом в точке F и директрисой ℓ.

Чтобы получить достаточное число точек параболы необходимо повторить пункты в) и г).


§4.Решение задач


Задача №1. Составить каноническое уравнение эллипса расстояние между фокусами, которого равно 16, а большая ось ─ равна 20.

Решение.

Если расстояние между фокусами равно 16, то и так как большая ось равна 20, то . Для того чтобы составить уравнение эллипса необходимо определить значение его малой полуоси . Воспользуемся следующим соотношением => = > b = 6.

Следовательно, уравнение эллипса имеет вид .


Задача №2. Составить уравнение эллипса, если эксцентриситет равен ¾ и эллипс проходит через точку А(1;1).

Решение.

Для записи канонического уравнения эллипса необходимо знать значения его большой и малой полуосей .

Так как , то .

С другой стороны точка А(1;1) принадлежит эллипсу

. => .

Так как , то .

Запишем каноническое уравнение эллипса .


Задача №3. Найти длину перпендикуляра, восстановленного из фокуса эллипса к большой оси до пересечения с эллипсом.

Решение.

Восстановим из фокуса F

перпендикуляр до

пересечения с эллипсом

в точке М. По условию

задачи необходимо найти

длину [FM]. Координаты фокуса F(с;0) определяются по формуле . => Прямая (FM) имеет уравнение : х = 4.

Для нахождения координат точки М необходимо решить систему уравнений

=>

=> . Очевидно, что │FM│= .

Задача №4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 2 и расстояние между фокусами равно .

Решение.

Уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи дано и . Известно, что .

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид .

Задача №5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 13/5 и гипербола проходит через точку .

Решение.

Для составления канонического уравнения гиперболы необходимо знать значения её действительной и мнимой осей.

По условию задачи дано значение

. С другой стороны так как точка М принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению: . Таким образом для нахождения значений параметров и , неоходимо решить систему уравнений => .

Уравнение гиперболы имеет вид

Задача №6. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с вершинами гиперболы , а вершины совпадают с фокусами этой гиперболы.

Решение.



Так как вершины эллипса совпадают с фокусами гиперболы, то . С другой стороны фокусы эллипса совпадают с вершинами гиперболы => . Так как для эллипса , то . Таким образом уравнение эллипса имеет вид .

Задача №7. На параболе найти точку , расстояние от которой до директрисы равно 4.

Решение.

Каноническое уравнение параболы имеет вид , где р ─

параметр. Уравнение директрисы в общем случае записывается следующим образом . По условию задачи р = 4 и , следовательно уравнение директрисы х + 2 = 0. Если точка М принадлежит параболе, ео она имеет следующие координаты М(х; ) . Так как расстояние от точки М до директрисы равно 4, то по формуле расстояния от точки до прямой для определения значения х, получаем уравнение : . Из уравнения параболы следует, что х > 0, поэтому => х = 2 => М(2; ).

Задача №8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси (Оу) и отсекающей на прямой у = х хорду длины .

Решение.

Пусть парабола имеет уравнение . С прямой у = х она имеет две точки пересечения: М1(0;0) и М2(х; 2рх). Длина хорды , очевидно равна

│М1М2│= │2рх│ = . Так как р > 0, то . Искомое уравнение параболы имеет вид .

Задача №9. Парабола отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду длина которой равна Написать уравнение этой прямой.

Решение.

Пусть парабола имеет уравнение . С прямой она имеет две точки пересечения: М1(0;0) и . Длина хорды , очевидно равна Так как, по условию задачи р = 1 и длина хорды равна 3/4, то для определения параметра получаем уравнение => => => =>

=> Таким образом существуют две прямые и , от которых парабола отсекает хорду длиной 3/4.

Задача №10. На параболе найти точку, расстояние от которой до прямой равно 2.

Решение.

Если точка М(х;у) лежит на параболе , то она имеет координаты .

Из формулы расстояния от точки до прямой на плоскости следует . => а) => . Таким образом точки М1(0;0) и М2(18;-24) параболы удалены от прямой на расстояние, равное 2.

б) ─ это уравнение не имеет действительных корней.



Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений
Пусть на плоскости даны две точки F1 и для того чтобы составить уравнение эллипса на плоскости введём ортонормированную систему координат,...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие содержит рекомендации по организации и проведению психологического блока производственной практики для студентов дневного и заочного отделения педагогических специальностей
Охватывает сильное беспокойство, когда вы думаете о своих делах и заботах
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов 5-го курса Академии экономики и предпринимательства управления специальности 080105 «Финансы и кредит»
Программа преддипломной практики. Учебно-методическое пособие для студентов 5-го курса Академии экономики и предпринимательства специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов 5-го курса Академии экономики и управления специальности 080105 «Финансы и кредит»
Программа преддипломной практики. Учебно-методическое пособие для студентов 5-го курса Академии экономики и управления специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов 5 курса лечебного факультета и факультета по подготовке специалистов для зарубежных стран
Учебно-методическое пособие содержит основные положения производственной врачебной практики по терапии на 5 курсе, требования к студентам...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов лечебно-профилактического факультета Гродно 2004
Сборник тестовых вопросов и ответов по биоорганической химии – Учебно-методическое пособие для студентов педиатрического факультета....
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие Пенза 2008 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»
...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов заочного отделения специальности 230500 «Социально-культурный сервис и туризм»
Утверждено на методическом совете института социологии и социальной работы протокол № от 2005 г
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие для студентов педиатрического факультета Гродно 2004
Сборник тестовых вопросов и ответов по биоорганической химии – Учебно-методическое пособие для студентов педиатрического факультета....
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconУчебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Маркетинг» для студентов, обучающихся по направлению 080500 «Менеджмент»
Б82 Боргардт Е. А. Маркетинг: учебно-методическое пособие по выполнению курсовых работ / Е. А. Боргардт – Тольятти: Тольяттинский...
Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений iconТемы курсовых работ по дисциплине «Гражданское процессуальное право» для студентов дневного и заочного отделений 2007/2008 учебный год (к ю. н., доцент Огнева Н. И.) Раздел Гражданское судопроизводство (общие вопросы и положения)
Темы курсовых работ по дисциплине «Гражданское процессуальное право» для студентов дневного и заочного отделений 2007/2008 учебный...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы