Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 icon

Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2


Скачать 119.93 Kb.
НазваниеЗадача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2
Дата публикации06.04.2013
Размер119.93 Kb.
ТипЗадача


Вариант 6

Задача 1

Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов.

L = 2х1 + х2



х1 + 2х2 ≤ 14

1 - 5х2 ≤ 5

1 + 3х2 ≥ 21

х1 = 3


Решение:


Построим область L допустимых решений. Заменим в каждом неравенстве задачи знак неравенства на знак равенства. Получим уравнения прямых:

х1 + 2х2 = 14 (I)

1 - 5х2 = 5 (II)

1 + 3х2 = 21 (III)

х1 = 3 (IV)

Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

Для нахождения экстремума функции L = 2х1 + х2, строим разрешающую прямую, приравнивая линейную форму нулю: L=0.

прямая (I) – точки (0;7) и (14;0) - градиент целевой функции;

прямая (II) – точки (0;-1) и (1,7;0), имеет отрицательное значения, следовательно, неравенство не выполняется;

прямая (III) – точки (0;7) и (4,2;0);

прямая (IV) проходит через точку х1 = 3 параллельно оси 0х2.


L Х2

III

IV

I

А Lmax

В L

4

2 С Lmin

1 Х1

0 1 2

II grad


Рисунок 1. Графическое решение задачи ЛП

Определим ОДР.

Для этого, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (I), получим 0≤14, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную левее и ниже прямой (1).

Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (рисунок 1).

Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является треугольник ABC.


Целевую прямую можно построить по уравнению L = 2х1 + х2

Выберем произвольное значение, например, L=10 целевой функции. Прямая 2х12 = 30 пересекает ось x1 в точке x1=5 и ось x2 в точке x2=10.

Строим вектор из точки (0;0) в точку (2;1).

Точка В – это единственная вершина треугольника допустимых решений ABC, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора . Поэтому В – это точка максимума.

Определим координаты точки В из системы уравнений прямых ограничений (I) и (IV)

х1 + 2х2 = 14 (I)

х1 = 3 (IV)

Получили точку B (3;5,5).

Максимальное значение равно L (В) = 2*3 + 5,5 = 11,5


Т.к., область L определяется как общая часть полуплоскостей, соответствующих неравенствам ограничений (рисунок 1), минимальное значение функция принимает в точке С. Определим координаты точки С из системы уравнений прямых ограничений (III) и (IV)

5х1 + 3х2 = 21 (III)

х1 = 3 (IV)


Получили точку B (3;2).

Минимальное значение равно L (C) = 2*3 + 2 = 8

В результате решения задачи линейного программирования были получены минимум и максимум рассматриваемой функции, вследствие того, что область ограничений представляет собой замкнутый треугольник. Таким образом, получили максимальное значение L (В) = 11,5 и минимальное значение L (C) = 8.


Задача 2


Построить математическую модель задачи и решить ее средствами Excel. Записать сопряженную задачу. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

Дано:

На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 37 тыс.руб. Его предполагается разместить на площади 45 м2.

Участок может быть оснащен оборудованием трех видов:

  • машинами стоимостью 6 тыс.руб. (все показатели приводятся на единицу оборудования), размещающимися на площади 9 м2, производительностью 8 тыс.единиц продукции за смену;

  • машинами стоимостью 3 тыс.руб., размещающимися на площади 4 м2, производительностью 2 тыс.единиц продукции за смену;

  • машинами стоимостью 4 тыс.руб., размещающимися на площади 5 м2, производительностью 5тыс.единиц продукции за смену.

Определить план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную производительность всего участка.

Решение:

Определим, для удобства, варианты плана через:

Х1 – оснащение участка машинами стоимостью 6 тыс.руб., размещающимися на площади 9 м2, производительностью 8 тыс.единиц продукции за смену;

Х2 - оснащение участка машинами стоимостью 3 тыс.руб., размещающимися на площади 4 м2, производительностью 2 тыс.единиц продукции за смену;

Х3 - оснащение участка машинами стоимостью 4 тыс.руб., размещающимися на площади 5 м2, производительностью 5тыс.единиц продукции за смену.

Для наглядности, данные задачи сведем в таблицу:

Варианты плана

Ст-ть единицы оборудования (тыс.руб.)

Площадь оборудования (м2)

Производительность машины

(тыс.ед.)

Х1

6

9

8

Х2

8

4

2

Х3

4

5

5

Запас ресурсов

37

45





Построим математическую модель:

L(х) = 8х1 + 2х2 + 5х3 max целевая функция




1 + 8х2 + 4х3 ≤ 37 стоимость ед. оборудования

1 + 4х2 + 5х3 ≤ 45 площадь участка

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0 условия неотрицательности


Средствами Excel, на основе данных, составим таблицы в режиме чисел и формул (прилодение).


Таблица в режиме чисел




показатели

варианты плана

вычис-ленные значения

соотно-шения

заданные ограни-

Х1

Х2

Х3

A

B

C

D

E

F

G

H

1

производительность всего оборудования

 

 

 

 

 

 

2

стоимость оборудования

6

8

4

0



37

3

площадь оборудования

9

4

5

0



45

4

производительность машины

8

2

5

0

 

 

5

положительность переменных

1

0

0

0



0

6

0

1

0

0



0

7

0

0

1

0



0



Таблица в режиме формул




показатели

варианты плана

вычис-ленные значения

соотно-шения

заданные ограни-чения

Х1

Х2

Х3

A

B

C

D

E

F

G

H

16

производительность всего оборудования

 

 

 

 

 

 

17

стоимость оборудования

6

8

4

=C17*C16+D17*D16+E17*E16



37

18

площадь оборудования

9

4

5

=C18*C16+D18*D16+E18*E16



45

19

производительность машины

8

2

5

=C19*C16+D19*D16+E19*E16

 

 

20

положительность переменных

1

0

0

=C20*C16



0

21

0

1

0

= D21*D16



0

22

0

0

1

= E22*E16



0



Активизируем ячейку F19 и выполняем команду ^ Сервис/Поиск решения


Полученные результаты




показатели

варианты плана

вычисленные значения

соотно-шения

заданные ограни-чения

Х1

Х2

Х3

1

производительность всего оборудования

-0,83

0

10,5

 

 

 

2

стоимость оборудования

6

8

4

37



37

3

площадь оборудования

9

4

5

45



45

4

производительность машины

8

2

5

45,83

 

 

5

положительность переменных

1

0

0

-0,83



0

6

0

1

0

0



0

7

0

0

1

10,5



0


Найденное решение позволяет сделать вывод о том, что вариант Х1 при заданных ограничениях дает отрицательный результат, нулевой результат показал вариант Х2, самым оптимальным результатом оказался вариант Х3.

По результатам расчетов составим отчет (приложение).




Похожие:

Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = Х 1 + Х 2
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconВариант 15 Задача
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача №1
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача №1
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача 1 стр. 3 Задача 2 стр. 7 Задача 3 стр. 11
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconОграничения
Используя графический метод линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + 3х 2
Построим область L допустимых решений. Заменим в каждом неравенстве задачи знак неравенства на знак равенства
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconЗадача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2
Построим область L допустимых решений. Заменим в каждом неравенстве задачи знак неравенства на знак равенства. Получим уравнения...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconРешение: Областью решения линейного неравенства с двумя переменным и является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой можно получить, если знак неравенства заменить на знак равенства
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconРешение: Областью решения линейного неравенства с двумя пе­ременными является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой можно получить, если знак неравенства заменить на знак равенства
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том...
Задача 1 Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том же множестве планов. L = 2х 1 + Х 2 iconРешение: Областью решения линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой можно получить, если знак неравенства заменить на знак равенства
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы