Задача №1 icon

Задача №1


Скачать 47.93 Kb.
НазваниеЗадача №1
Дата публикации06.04.2013
Размер47.93 Kb.
ТипЗадача

Вариант 13

Задача № 1

Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том же множестве планов.

L= X1 + X2

8X1 - 5X2 <= 16

-X1 + 3X2 <= 2

2X1 + 7X2 >= 9

X2 >= 1


Решение:

Областью решения линейного неравенства с двумя переменным и является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой можно получить, если знак неравенства заменить на знак равенства.

Первое ограничении рассмотрим как уравнение прямой:

8X1 - 5X2 = 16

Находим любые две точки, принадлежащие данной прямой.

Пусть x1 = 0, тогда -5x2 = 16 x2= - 16/5 = -3.2;

x2 = 0, тогда 8x1 = 16 x1 = 2;

Через полученные точки проводим прямую. Для того чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставляем координаты какой либо точки (проще взять начало координат) в левую часть неравенства.

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 <= 16.

Следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат.

Второе ограничении рассмотрим как уравнение прямой: -X1+3X2 = 2

Пусть x1 = 0, тогда 3x2 = 2 x2 = 2/3 = 0.6;

x2 = 0, тогда -x1 = 2 x1 = -2;

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 <= 2.

Следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат.

Третье ограничении рассмотрим как уравнение прямой: 2X1 + 7X2 = 9

Пусть x1 = 0, тогда 7x2 = 9; x2 = 9/7 = 1,2;

x2 = 0, тогда 2x1 = 9; x1 = 4.5;

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 >= 9.

Следовательно, область решений этого неравенства не включает начало координат.

Четвертое ограничение рассмотрим как x2 >= 1

Известно, что градиент показывает направление возрастание функции. Так как функция линейна, то достаточно провести прямую, перпендикулярную градиенту, и перемещать её над множеством планов в направлении градиента. Точка первого касания прямой с множеством планов будет точкой минимума, точка последнего касания – точка максимума.

Для нашего примера grad L = (1, 1).


X2



(4)



(1)

(3)

B

(2)

A

B




grad C X1


Решение.

Точка первого касания множества планов прямой, перпендикулярной градиенту есть т. А. Её координаты будут оптимальным планом для задачи минимизации.

Точка А получается пересечением второй и третьей прямых. Для нахождения координат т. А достаточно решить систему двух уравнений.

-X1 + 3X2 = 2

2X1 + 7X2 = 9

Умножаем первое уравнение на (2) и складываем с (2) уравнением, получаем:

-2X1 + 6X2 = 4

2X1 + 7X2 = 9 13x2 = 13 x2 = 1

Подставляя найденное значение в (1) уравнение, получаем:

-X1 + 3 = 2 -x1 = 2 - 3 x1 = 1

Xопт = (1; 1) Lmin = 1 + 1 = 2

Точка последнего касания множества планов прямой, перпендикулярной градиенту есть т. B. Её координаты будут оптимальным планом для задачи максимизации. Точка B получается пересечением первой и второй прямых. Для нахождения координат т. B достаточно решить систему двух уравнений.

8X1 - 5X2 = 16

-X1 + 3X2 = 2

Умножаем (2) уравнение на (8) и складываем с первым:

8X1 - 5X2 = 16

-8X1 + 24X2 = 16 19x2 = 32 x2 = 32/19

Подставляя найденное значение вo (2) уравнение, получаем:

-x1 + 3*32/19 = 2 -x1 + 96/19 = 2 -x1 = -58/98 x1= 58/19 = 3,05

Xопт = (58/19; 32/19) Lmax = 58/19 + 32/19 = 90/19

Задача № 2

Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг.) и силос (не более 85 кг.). Рацион должен обладать определенной питательностью, т.е. число кормовых единиц не менее 30, и содержать не менее 1 кг. белка, не менее 100 гр. Кальция и не менее 80 гр. Фосфора.

В таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг. каждого продукта питания и себестоимости этих продуктов.

Компоненты

Продукты




Сено свежее

Силос

Кормовые единицы

0,5

0,5

Белок

40

10

Кальций

1,55

2,5

Фосфор

2

1

Себестоимость

1,2

0,8

Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.

Решение.

Обозначим через x1 и x2 – сено свежее и силос соответственно.

Строим математическую модель:

L(x)= 1,2 x1 + 0,8 x2 -> min целевая функция

0,5 x1 + 0,5 x2 >= 30 потребность в кормовых единицах

40 x1 + 10 x2 >= 1 потребность в белке

1,55 x1 + 2,5 x2 >= 0,1 потребность в кальции

2 x1 + x2 >= 0,08 потребность в фосфоре

Получили математическую модель, которая называется задачей линейного программирования.

Для решения рассмотренной задачи в среде Excel заполним ячейки исходными данными (в виде таблицы) и формулами математической модели.

Представим таблицу в режиме чисел:



Таблица в режиме формул:



Здесь: C4:D4 – результат (оптимальное количество корма);

C5:D5 – коэффициенты целевой функции;

F5 – значение целевой функции;

C6:D9 – коэффициенты ограничений;

G6:G9 – правая часть ограничений;

E6:E9 – вычисляемые (фактические) значения левой части ограничений.

Решение задачи проводим с помощью команды меню Сервис / Поиск решения.

Выводы: Оптимальное рацион из условия минимума себестоимости составляют 60 кг. силоса. Минимальные затраты при этом составят 48 руб. Информация по ограничениям представлена в таблице Результаты решения.







Похожие:

Задача №1 iconЗадача на расчёт средней скорости. Задача на расчёт ускорения. Задача на свободное падение тела. Задача на применение закона всемирного тяготения
Равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение и скорость при прямолинейном равноускоренном движении
Задача №1 iconЗадача 1 стр. 3 Задача 2 стр. 7 Задача 3 стр. 11
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том...
Задача №1 iconДоктор фаустус
Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
Задача №1 iconТомас манн доктор фаустус
Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
Задача №1 iconЗадача 41. Модификация теории is — lm
Задача 41. (Модификация теории is — lm: модель Манделла — Флеминга открытой экономики в краткосрочном периоде с плавающим обменным...
Задача №1 iconРасчетные задания задача 1
...
Задача №1 iconДжон каленч лучший, каким вы можете быть в mlm
Знать, что Вы хотите от жизни — это Ваша задача. Показать вам, как Вы сможете всего этого достичь с помощью Сетевого маркетинга —...
Задача №1 icon1. Предмет и задачи истор науки. Формац и цивилю подходы
Практическая задача это выяснить, что происходи­ло в прошлом и интерпритировать в наст и буд. Воспитат задача воспитание на основе...
Задача №1 iconЗадача по устранению выполнена, чего не скажешь про конечный звук он получился весьма своеобразным
Звукосниматель неотъемлемый атрибут электрогитары, задача которого преобразовать колебание струны в электрический ток. Сигнал усилияется...
Задача №1 iconЗадача: Требуется предложить проект пресс-центра Крокус Сити Холла
Иногда здесь же организуется Meet&Greet (встреча с поклонниками). Задача усложняется тем, что эта зона находится рядом со служебным...
Задача №1 iconЗадача Дана функция спроса на товар Х: Dх = 500 – 20px – 10py + 15pz + 0,5B. Дать характеристику товарам y и z по отношению к товару Х; Пусть px = 100, py = 300, pz = 200, b = 6000. Рассчитать эластичности спроса. Задача 2 (бонус)
Если функция предложения товара х: Sх = 100px – 200, то в каком состоянии находится рынок
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы