Задача №1 icon

Задача №1


Скачать 59.74 Kb.
НазваниеЗадача №1
Дата публикации06.04.2013
Размер59.74 Kb.
ТипЗадача

Вариант 10

Задача № 1

Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том же множестве планов.

L= X1 + 2X2

2X1 + X2 <= 11

3X1 + 4X2 >= 20

-3X1 + 2X2 <= 10

X1 <= 4

X2 <= 6

Решение:

Областью решения линейного неравенства с двумя переменным и является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой можно получить, если знак неравенства заменить на знак равенства.

Первое ограничении рассмотрим как уравнение прямой:

2X1 + X2 = 11

Находим любые две точки, принадлежащие данной прямой.

Пусть x1 = 0, тогда x2 = 11;

x2 = 0, тогда 2x1 = 11 x1 = 11/2 = 5.5;

Через полученные точки проводим прямую. Для того чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставляем координаты какой либо точки (проще взять начало координат) в левую часть неравенства.

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 <= 11.

Следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат.

Второе ограничении рассмотрим как уравнение прямой: 3X1+4X2 = 20

Пусть x1 = 0, тогда 4x2 = 20 x2 = 5;

x2 = 0, тогда 3x1 = 20 x1 = 20/3=6.6;

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 >= 20.

Следовательно, область решений этого неравенства не включает начало координат.

Третье ограничении рассмотрим как уравнение прямой: -3X1 + 2X2 =10

Пусть x1 = 0, тогда 2x2 = 10 x2 = 10/2 = 5

x2 = 0, тогда -3x1 = 10 x1 = -10/3 = -3.3

При подстановке значений x1 = 0, x2 = 0 получаем 0 <= 10.

Следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат.

Четвертое ограничение рассмотрим как x1 <= 4

При подстановке значений x1 = 0, получаем 0 <= 4.

Следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат.

Пятое ограничение рассмотрим как x2 <= 6

При подстановке значений x2 = 0, получаем 0 <= 6.

Следовательно, область решений этого неравенства также включает начало координат.

Известно, что градиент показывает направление возрастание функции. Так как функция линейна, то достаточно провести прямую, перпендикулярную градиенту, и перемещать её над множеством планов в направлении градиента. Точка первого касания прямой с множеством планов будет точкой минимума, точка последнего касания – точка максимума.

Для нашего примера grad L = (1, 2).


x2



1 4

3

2

B C

A

D 5

Grad

E x1


Точка первого касания множества планов прямой, перпендикулярной градиенту есть т. Е. Её координаты будут оптимальным планом для задачи минимизации.

Точка Е получается пересечением второй и четвертой прямых. Для нахождения координат т. Е достаточно решить систему двух уравнений.

3X1 + 4X2 = 20

X1 = 4

Умножаем второе уравнение на (-3) и складываем с первым уравнением, получаем:

3X1 + 4X2 = 20

-3X1 = -12 4x2 = 8 x2 = 2

Xопт = (4; 2) Lmin = 4 + 2*2 = 8

Точка последнего касания множества планов прямой, перпендикулярной градиенту есть т. С. Её координаты будут оптимальным планом для задачи максимизации. Точка С получается пересечением первой и пятой прямых. Для нахождения координат т. С достаточно решить систему двух уравнений.

2X1 + X2 = 11

X2 = 6

Подставляем второе уравнение в первое и получаем:

2X1 + 6 = 11 2X1 = 11-6 2x1 = 5 x1 = 5/2 = 2,5

Xопт = (2,5; 6) Lmax = 2,5 + 2*6 = 14,5

Ответ:

Xопт = (4; 2) Lmin = 4 + 2*2 = 8

Xопт = (2,5; 6) Lmax = 2,5 + 2*6 = 14,5

Задача № 2

Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

Имеется три вида сырья – А, B, С, которое используется для производства двух видов продуктов – Р1 и Р2. В распоряжении находятся 500 единиц сырья А, 750 единиц сырья В и 200 единиц сырья С. На единицу продукта Р1 расходуется 3 единицы сырья А и 2 единицы сырья В. На единицу продукта Р2 расходуется 2 единицы сырья А и 5 единицы сырья С. Прибыль от производства одной единицы продукта Р1 составляет 4 руб., а одной единицы продукта Р2 – 5 руб.

Определить план производства данных продуктов, обеспечивающий его максимальную прибыль.

Кроме того, очевидно, что ни одна из переменных (число единиц продукции) не может быть отрицательным.

Решение.

Обозначим через x1 и x2 – план выпуска данных продуктов Р1 и Р2

соответственно.

Запишем условие задачи в виде таблицы:

Виды сырья

Виды продуктов


Объем запасов

Р1


Р2




А

3

2

500

В

2




750

С




5

200

Прибыль от реализа-

ции 1 ед. продукции

4

5






Строим математическую модель:

L(x)= 4 x1 + 5 x2 -> max целевая функция

3 x1 + 2 x2 <= 500 потребность в виде сырья А

2 x1 <= 750 потребность в виде сырья B

5 x2 <= 200 потребность в виде сырья C

x1 >=0 x2 >=0 условия неотрицательности

Получили математическую модель, которая называется задачей линейного программирования.

Для решения рассмотренной задачи в среде Excel заполним ячейки исходными данными (в виде таблицы) и формулами математической модели.

Таблица в режиме формул.




Результаты решения представлены в таблице:

 

^ Виды продуктов

Вычисленные значения

Соотношения

Объем запасов

Р1

Р2

План производства

140

40

 

 

 

^ Прибыль от 1 ед. продукции С и L(x)

4

5

760

 

 

Вид с-я

А

3

2

500

<=

500

В

2




280

<=

750

С




5

200

<=

200


Выводы: Оптимальный план производства данных продуктов при заданных ограничениях составит 140 единиц (Вид Р1) и 40 (Вид Р2). При этом максимальная прибыль от реализации этих продуктов составит 760 рублей. Трудовые ресурсы для производства использованы полностью кроме Сырья В. Остаток вида сырья В составит 470 единиц.






Похожие:

Задача №1 iconЗадача на расчёт средней скорости. Задача на расчёт ускорения. Задача на свободное падение тела. Задача на применение закона всемирного тяготения
Равноускоренное движение. Ускорение. Перемещение и скорость при прямолинейном равноускоренном движении
Задача №1 iconЗадача 1 стр. 3 Задача 2 стр. 7 Задача 3 стр. 11
Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значение линейной функции на одном и том...
Задача №1 iconДоктор фаустус
Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
Задача №1 iconТомас манн доктор фаустус
Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право...
Задача №1 iconЗадача 41. Модификация теории is — lm
Задача 41. (Модификация теории is — lm: модель Манделла — Флеминга открытой экономики в краткосрочном периоде с плавающим обменным...
Задача №1 iconРасчетные задания задача 1
...
Задача №1 iconДжон каленч лучший, каким вы можете быть в mlm
Знать, что Вы хотите от жизни — это Ваша задача. Показать вам, как Вы сможете всего этого достичь с помощью Сетевого маркетинга —...
Задача №1 icon1. Предмет и задачи истор науки. Формац и цивилю подходы
Практическая задача это выяснить, что происходи­ло в прошлом и интерпритировать в наст и буд. Воспитат задача воспитание на основе...
Задача №1 iconЗадача по устранению выполнена, чего не скажешь про конечный звук он получился весьма своеобразным
Звукосниматель неотъемлемый атрибут электрогитары, задача которого преобразовать колебание струны в электрический ток. Сигнал усилияется...
Задача №1 iconЗадача: Требуется предложить проект пресс-центра Крокус Сити Холла
Иногда здесь же организуется Meet&Greet (встреча с поклонниками). Задача усложняется тем, что эта зона находится рядом со служебным...
Задача №1 iconЗадача Дана функция спроса на товар Х: Dх = 500 – 20px – 10py + 15pz + 0,5B. Дать характеристику товарам y и z по отношению к товару Х; Пусть px = 100, py = 300, pz = 200, b = 6000. Рассчитать эластичности спроса. Задача 2 (бонус)
Если функция предложения товара х: Sх = 100px – 200, то в каком состоянии находится рынок
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы