3 Розділ 1 icon

3 Розділ 1


Скачать 370.71 Kb.
Название3 Розділ 1
страница6/10
Размер370.71 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Введемо змінні: Х1 та Х2 – план виробництва продукції А та В. Будуємо модель.

Цільова функція: 20X1+25X2 → max.

Обмеження: 10Х1 + 30Х2 ≤ 100;

15Х1 + 20Х2 ≤ 120

20Х1 + 250Х2 ≤ 200

Х1 ≥ Х2 ≥ 0.

Задачу математичного програмування з двома невідомими роз­в'яжемо графічним способом (рис. 5.1). Для цього в обмеженнях замі­нимо знак " " на "=" і накреслимо три прямих лінії відповідно. Далі повернемось до початкових нерівностей і визначимо напівплощини, де виконуються задані умови. Утворена множина допустимих роз­в'язувань задовольняє усім спеціальним і загальним умовам.



Рис. 5.1. Графічне розв'язування ЗМП з двома змінними


Оптимальне розв'язування задачі криється в одній з вершин одер­жаної множини допустимих розв'язувань. Визначимо, яка з вершин дасть найбільший результат.

Точка f(0, 0) = 0; f(0, 2) = 20∙0+25∙2 = 50; f(8, 0) = 20∙8 + 25∙0 = 160.

Щоб знайти ще одну точку — точку А, — потрібно розв'язати си­стему двох рівнянь з двома невідомими.



Х1 = 6,4, Х2 = 1,2. Прибуток становить 20∙6,4 + 25∙1,2 = 158 гр. од.

Отже, максимальне значення функції набувається у точці Х1 = 20, X2 = 0 і становить 160 гр. од.

Значно швидший шлях розв'язування задачі — побудова вектора нормалі. Координати вектора — це часткові похідні цільової функції, або градієнт функції (див. додаток).

За коефіцієнтами цільової функції (20, 25) або з пропорційними кое­фіцієнтами (2,0; 2,5) (рис. 5.1) будуємо вектор. У цьому напрямку буде зро­стати значення цільової функції. Перпендикулярно до вектора нормалі проводимо пряму лінію і зміщуємо її паралельно у напрямку вектора.

Остання точка, яка міститься на межі допустимої площини, — точ­ка з координатами (8, 0). її значення дорівнює 20∙8 = 160.

Отже, оптимальний план виробництва: Х1 = 8; X2 = або план становитиме 8 одиниць продукції А.

Прибуток становить 160 гр. од.


^ 5.2. ЕКОЛОГО-ЕКОНОМІЧНІ МОДЕЛІ ОПТИМІЗАЦІЇ


Оскільки Україна найбільше потерпіла від аварії на ЧАЕС, до­сить актуальними були і залишаються проблеми раціонального ви­користання ресурсів в екологічно несприятливих умовах. Розглянемо еколого-економічні моделі оптимізації сільськогосподарського ви­робництва як найбільш ураженої галузі після аварії на ЧАЕС [4].

Проблемами моделювання еколого-економічних систем сільсько­господарського виробництва займались такі українські установи: Ук­раїнський науково-дослідний інститут сільськогосподарської радіо­логії, Інститут ботаніки ім. Н. Г. Холодного, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова. Найцікавішими є праці українських учених Б. С. Прістера, В. Г. Бар'яхтара, Д. М. Гродзинського та ін.

Однією з основних проблем під час ліквідації наслідків аварії у перші тижні та місяці після аварії було забезпечення безпеки населення від впливу зовнішнього опромінювання та внутрішнього надход­ження радіоактивних продуктів аварії внаслідок споживання місце­вих харчових продуктів. Далі першочерговими завданнями стали оці­нювання та прогнозування забруднення сільськогосподарської про­дукції у прилеглих до ЧАЕС районах. Були запропоновані наступні організаційні та агро меліоративні заходи:

– зміна спеціалізації господарства відповідно до рівня забруднен­ня території землекористування;

– виключення з виробництва забрудненої продукції, яка надхо­дить безпосередньо у харчування людини;

– переважне виробництво рослинницької продукції на насіння, технічні цілі та корми для тваринництва;

– здійснення заходів, спрямованих на фіксацію та закріплення ра­діонуклідів у недосяжні протягом тривалого часу для рослин форми шляхом внесення у необхідних дозах мінеральних добрив, вапна та сорбентів (глиняної суспензії...) у верхній забруднений шар ґрунту;

– розширення площ під багатолітні трави, що забезпечує зниження вмісту радіонуклідів у кормах, а відтак — у продуктах тваринництва;

– відгодівля тварин кормами з низьким вмістом радіонуклідів.

Цікавою була ідея насадження лісів на ділянках з високою щільністю забруднення, оскільки придатною для користування дере­винна продукція буде через десятиліття, коли відбудеться суттєве зменшення радіонуклідів. Лабораторією Д. М. Гродзинського Інсти­туту клітинної біології та інженерії була запропонована концепція, яка містила ідею управління винесенням радіоактивних елементів, які здатні концентрувати у своїх тканинах рослини та дискримінувати їх надходження з ґрунту. Можливими є два способи надходження у рос­лини радіонуклідів з ґрунтів, які зазнали забруднення:

– мінімізація — послаблення їх надходження у сільськогоспо­дарські рослини і, отже, у харчові ланцюги;

– максимізація — посилення винесення за допомогою культурних або диких видів рослин (фітодезактивація).

Введемо змінні:

k — кількість ділянок у регіоні;

i — основні сільськогосподарські культури в регіоні;

Rіk — забруднення і-ї культури на k-й ділянці (Кі/га);

Kіk — середнє значення питомої концентрації радіонуклідів, кг продукції і/кг);

bіk — середнє значення врожаїв культур, які зібрані у даному ре­гіоні (кг/га);

Sіk — площі, які зайняті даною культурою (га). Загальна формула оцінки винесеної із врожаєм кількості радіо­нуклідів становить подвійну суму:

Rіk Kіk bіk Sіk → max (Кі/га).

Найпростіша модель оптимізації в умовах радіоактивного за­бруднення записується у вигляді:



Змінні моделі: рj(v1 ...vт) — ціна j-го продукту, який виробляється з 1...m ресурсами та з v1…vm забрудненням. Модель належить до мо­делей лінійного програмування.

Складнішою є модель, яка описує більш імовірнісний та довший трофічний ланцюжок: "ґрунт-рослина-рослинний корм-тварина-тваринний корм-хутровий звір-хутро". Протягом проходження лан­цюжка суттєво знижується концентрація забруднення, при цьому максимізується прибуток продукції.

Розглянемо економіко-математичну модель оптимізації сільсько­господарського виробництва з урахуванням щільності забруднення агрогруп.

Розкриємо її суть. Розподілити посівні площі, які відводять під кожну сільськогосподарську культуру на ділянках відповідних агро­груп з різною щільністю забруднення таким чином, щоб досягти мак­симального ефекту з урахуванням технологічних, агротехнічних, організаційних та екологічних умов. Невідомі змінні в моделі — це площі, які відводять під культури деякого виду на ділянці відповідної агрогрупи певного типу забруднення.

У моделі відомі параметри: врожайність культури на тій чи іншій ділянці, норми внесення меліорантів, загальна площа ріллі в госпо­дарстві, коефіцієнти переходу кількості культур у зернові одиниці.

Ще один тип моделей, які можна застосовувати в умовах радіоак­тивного забруднення, це — цілочисельні оптимізаційні моделі. На­приклад, модель оптимального розподілу культур за полями сівозмін. Критерій оптимальності тут наступний: знайти долю площі кожного поля (0 або 1), яку відводять під кожну культуру, тобто сформувати план розподілу культур за полями, який забезпечує мінімум сумарної забрудненості продукції або такий, що забезпечує максимальний прибуток від реалізації продукції. У цільову функцію можна ввести коефіцієнт, який вказує на участь продукції в реалізації:

aij = 1, якщо біологічні норми вмісту радіонуклідів є допустимими;

aij = 0, якщо норми вмісту є недопустимими.

Залежно від поставленого завдання оптимізації сільськогоспо­дарського виробництва розглядаються свої, відмінні від інших, кри­терії оптимальності. Вибір та обґрунтування критерію оптимальності — важливий етап моделювання. Існують різні критерії опти­мальності: прибуток від реалізації продукції господарства, мінімальні витрати, собівартість продукції, максимум продукції в зернових оди­ницях, максимум випуску чистої продукції. Прибуток від реалізації сільськогосподарської продукції можна обчислити за вільними ринко­вими, державними або світовими цінами.

Коли йдеться про задачу оптимізації, виникає проблема вибору критеріїв оптимальності. Знаходження оптимального плану розмі­щення сільськогосподарського виробництва в умовах радіоактивно­го забруднення є багатоцільовим. Однак вибір плану за всіма крите­ріями одночасно є неможливим, тому необхідно або вибрати з усіх критеріїв найвагоміший, або застосовувати у цільовій функції певні важелі. При розв'язуванні задачі стосовно одного з критеріїв ступінь досягнення інших цілей можна фіксувати як обмеження.

Розв'язування економіко-математичних моделей ґрунтується на використанні симплекс-методу або його модифікацій.


^ 5.3. ЗАДАЧІ БЕЗУМОВНОЇ ТА УМОВНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МЕТОДИ ЇX РОЗВ'ЯЗУВАННЯ


Математичне програмування можна поділити на лінійне та не­лінійне. Нелінійне програмування є досить складним з точки зору застосування математичного апарату.

Задачі нелінійного програмування поділяють залежно від оптимумів: локальний чи глобальний (рис. 5.3); екстремумів: умовний чи безумовний (рис. 5.2) та методів розв'язування: аналітичний чи обчислювальний.

На практиці в задачах оптимізації для змінних задають граничні умови. У межах цих умов цільова функція може набувати найбільше чи найменше значення або мати екстремум. Оптимум — ширше по­няття, ніж екстремум. Якщо екстремум є не у всіх функцій, то в прак­тичних задачах оптимум існує завжди [1].







Рис. 5.2. Екстремуми функцій






Рис. 5.3. Оптимуми функцій


У "більшості економічних задач оптимізації зустрічається локаль­ний оптимум.

Задачами безумовної оптимізації називаються такі, в яких за­дається лише одна цільова функція. У таких задачах не існує обме­жень і граничних умов. Моделі безумовної оптимізації мають теоре­тичний характер, оскільки на практиці граничні умови задаються завжди. У цих задачах поняття оптимуму та екстремуму збігаються, і для знаходження оптимуму в них застосовуються методи знаход­ження екстремуму.

^ Аналітичний метод розв'язування задачі безумовної оптимізації.

Задана функція однієї змінної F = f(х). Для того щоб визначити ек­стремум, необхідно:

1. Знайти першу похідну функції.

2. Прирівняти її до нуля.

3. Розв'язати рівняння, визначивши х*.

4. Знайти другу похідну функції. Визначити знак цієї похідної. Якщо друга похідна менша за 0, то точка х* — максимум функції. Якщо друга похідна більша за 0, то точка х — мінімум функції.

Методи розв'язування задач умовної оптимізації.

f(хj). → mіn

при обмеженнях: gij) = 0; і = 1,т; аj ≤ хj ≤ bj.

1. Метод штрафних функцій. Від задачі умовної оптимізації пере­ходять до задачі, в якій мінімізується нова цільова функція, яка містить у собі першу цільову функцію та задані обмеження. Запи­сується: F(хj)= f(хj)+Ψ(g(xj)) → mіn, де Ψ(g(xj)) — штрафна функція.

2. Метод Лагранжа.


^ 5.4. МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОПТИМІЗАЦІЇ НА УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ


Сутність методу полягає у побудові функції виду:

L(х1, х2, λ) = f(х1, х2) +λg(х1, х2),

тобто, зведення задачі на умовний екстремум двох незалежних змінних до задачі на абсолютний екстремум функції L(х1, х2, λ) трьох незалежних змінних х1, х2, λ. Функція Лагранжа є сумою цільової функції та функції обмеження, помноженої на нову незалежну змінну λ (множник Лагранжа), яка має перший порядок.

Для знаходження точок умовного локального екстремуму функції за наявності обмеження слід насамперед знайти критичні точки функції Лагранжа, тобто знайти всі розв'язання системи рівнянь:




Далі критичні точки функції Лагранжа потрібно скоротити на ко­ординати λ. Потім кожну одержану скорочену точку необхідно про­аналізувати, чи є вона точкою умовного екстремуму функції за даних обмеженнях чи ні.

Приклад. Знайдіть екстремум функції у = за умови х1 + х2 -1= 0 або розв'яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.

Запишемо функцію Лагранжа:

L(х1, х2, λ) =+ λ(x1+x2-1)

Знаходимо критичні точки функції Лагранжа, розв'язавши систе­му рівнянь:




Одержимо: x1 = х2 = 1/2, λ = –1.

Отже, система рівнянь має єдине розв'язування, єдину критичну точку функції Лагранжа (1/2, 1/2, –1).

Для визначення, який саме екстремум має місце у критичній точці — максимум чи мінімум, потрібно проаналізувати величину:

D = АВ – С2, де А, В, С — другі часткові похідні функції:



Якщо D > 0 та А < 0 і В < 0, то критична точка—точка максимуму.

Якщо D > 0 та А > 0 і В > 0, то критична точка — точка мінімуму.

Якщо D < 0, екстремумів у даній точці немає.

Якщо D = 0, відповіді немає, необхідно знаходити похідні вищих порядків.

Для нашого прикладу А=2, В=2, С=0. Отже, D=2∙2=4>0, А>0, В>0, критична точка — точка мінімуму.

Перевіряємо, чи є скорочена критична точка точкою умовного локального екстремуму функції за наявності обмеження.

f(х1, х2) = (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2; 1/2 + 1/2 –1= 0. Отже, (х1, x2)= (1/2,1/2).

Задача споживчого вибору як задача на умовний екстремум [1].

Розглянемо модель поведінки споживача (розд. 2, п. 2.1) як зада­чу на умовний екстремум:

и(х1, х2) → max за умови р1х1 + р2х2 =R.

Для розв'язування цієї задачі застосуємо метод Лагранжа.

Запишемо функцію Лагранжа:

L(х1, х2, λ) =u(x1,x2) + λ(p1x1+p2x2 – R)

Знаходимо її перші часткові похідні за змінними х1, х2, λ та при­рівнюємо часткові похідні до нуля:




Виключаємо з одержаної системи трьох рівнянь з трьома невідо­мими параметр λ, одержимо систему двох рівнянь з двома невідоми­ми х1 та х2:



Розв'язуванням цієї системи є "скорочена" критична точка функції Лагранжа.

Підставимо розв'язування в ліву частину першого рівняння



і одержимо відомий факт з курсу "Мікроекономіка", що у точці ло­кальної ринкової рівноваги відношення граничних корисностей продуктів дорівнює відношенню ринкових цін р1 та р2 на ці продукти:



У рівнянні ліворуч — гранична норма заміщення першого про­дукту іншим (МRTS) (див. додаток).

Геометрично розв'язування задачі можна інтерпретувати як точ­ку дотику лінії байдужості функції корисності и(х1, х2) з бюджетною прямою p1x1 + p2x2 = R (рис 5.4).



Рис. 5.4. Оптимум споживача


Відношення визначає тангенс кута нахилу лінії рівня функції корисності, а відношення уявляє тангенс кута нахилу бюджетної прямої. У точці споживчого вибору вони дотикаються.


^ ОСНОВНІ ТЕРМІНИ

Задача оптимізації

Спеціальні та загальні обмеження

Еколого-економічні системи

Моделі оптимізації в умовах радіоактивного забруднення

^ Цілочисельні оптимізаційні моделі

Математичне програмування

Умовна та безумовна оптимізація

Цільова функція

Екстремум функції

Оптимум функції

Метод Лагранжа

Множник Лагранжа


^ КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Які типи оптимізаційних моделей ви знаєте?

2. У чому полягає графічний метод розв'язування задач матема­тичного програмування?

3. Які організаційні та агро меліоративні заходи необхідно вра­ховувати в еколого-економічних моделях оптимізації?

4. Що означає термін "трофічний ланцюжок" у моделі оптимі­зації в умовах радіоактивного забруднення?

5. Як вирішуються проблеми радіоактивного забруднення в цілочисельних оптимізаційних моделях?

6. Чим різняться поняття "оптимум" і "екстремум"?

7. У чому полягає аналітичний метод розв'язування задач безу­мовної оптимізації?

8. Як знаходити критичні точки функції Лагранжа?

9. Якими способами можна розв'язати задачу споживчого вибору? 10. Які оптимізаційні моделі для економіки України ви б запро­понували?


^ ТЕСТИ ТА ЗАДАЧІ

1. Точка, яка задовольняє спеціальним і загальним обмеженням задачі математичного програмування, називається:

а) мінімальним; б) максимальним;

в) допустимим; г) недопустимим розв'язуванням.

2. Якщо допустима множина задачі лінійного програмування не пуста, а цільова функція обмежена знизу або зверху на цій множині, то задача:

а) має розв'язання; б) не має розв'язання.

3. Методи розв'язування оптимізаційних задач називають методами:

а) мінімізації; б) математичного програмування;

в) планування; г) статистики.

4. Концепція посилення винесення радіонуклідів за допомогою культурних або диких видів рослин, яка була запропонована для ліквідації наслідків аварії на ЧАЕС, мала назву концепції:

а) лісопоновлення;

б) спеціалізації;

в) фітодезактивації;

г) оптимального розподілу сільськогосподарських культур.

5. У цілочисельних оптимізаційних моделях використовують:

а) булеві змінні (0,1);

б) додатні змінні;

в) від'ємні змінні;

г) змінні, які утворюють геометричну прогресію.

6. Зазначте правильне твердження:

а) у задачах безумовної оптимізації не існує обмежень;

б) у задачах безумовної оптимізації існують граничні умови;

в) якщо друга похідна функції має додатне значення, оптималь­на точка є точкою мінімуму;

г) екстремум — ширше поняття, ніж оптимум.

f(x1,x2)= x1+2x2 →min

x1+x2 ≤ 2; x1+x2 ≥ 1; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.


7. Розв'яжіть задачу лінійного програмування графічним методом:

8. Розв'яжіть задачу лінійного програмування графічним методом:

f(x1,x2)=2x1+2x2 →max

x1 –2 x2 ≤ 1; x1+2x2 ≤ 4; x1 ≥ 1; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

9. Розв'яжіть задачу безумовної оптимізації. Визначте екстремум функції

F(x)= – 12x2 – 2x + 4

10. Споживач має дохід 500 грн на тиждень і може купувати 2 бла­га у кількості Х1 та Х2 за цінами 40 та 50 грн за одиницю відповідно.

Функція корисності споживача U(X1,X2) = 2. Розв'яжіть за­дачу споживчого вибору за допомогою методу множників Лагранжа.


^ СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В. Мате-матические методы в экономике: Учебник. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Дело и сервис, 1999.

2. Ляшенко І. М. Економіко-математичні методи та моделі ста­лого розвитку. — К.: Вища шк., 1999.

3. Малиш Н. А. Моделювання еколого-економічних систем аг­ропромислового комплексу на території радіоактивно за­брудненого регіону. Дис... на здоб. вч. ступ. к. є. н. КНУ ім. Тараса Шевченка, 1993.

4. Рюмина Е. В. Экологический фактор в экономико-математических моделях. — М.: Наука, 1980.

5. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономи­ке, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

3 Розділ 1 iconМетодичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни "Електричні машини" Розділ "Трансформатори"
Електричні машини”. Розділ “Трансформатори” (для студентів спеціальностей 090601 “Електричні станції”, 090602 “ Електричні системи...
3 Розділ 1 iconМетодичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни "Електричні машини" розділ "Асинхронні машини"
Електричні машини”. Розділ “Асинхронні машини” (для студентів спеціальностей 090601 “Електричні станції”, 090602 “Електричні системи...
3 Розділ 1 iconЗміст частина теоретико-методолопчні засади та зміст розвитку мовлення дітей розділ Теоретико-методологІчнІ засади дошкільної лінгводидактики
Розділ Завдання, зміст, засоби, форми, методи і прийоми розвитку мовлення дітей
3 Розділ 1 icon3 Розділ 1
Передмова
3 Розділ 1 iconВступ Розділ Особливості засобів навчання та їх роль у ефективному засвоєнні знань учнями
Розділ Особливості засобів навчання та їх роль у ефективному засвоєнні знань учнями
3 Розділ 1 iconКнига розділ І влітку 1658 року Полтава згоріла дощенту

3 Розділ 1 iconРозділ дидактичні основи використання сучасних інформаційних технологій в навчальному процесі

3 Розділ 1 iconРозділ педагогічні основи вивчення полтавського розпису тарілок на уроках образотворчого мистецтва

3 Розділ 1 iconРозділ гемостаз ТемИ
Пмд при зовнішніх І внутрішніх кровотечах. Особливості догляду й інтенсивної терапії
3 Розділ 1 iconОсновні вимоги до курсових робіт
Другий розділ – практичний, складається з опису завдання, що виконане самостійно
3 Розділ 1 iconРозділ інфузійна терапія. ТемИ
Ускладнення в разі переливання кровозамінників, перша медична допомога при цьому
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы