3 Розділ 1 icon

3 Розділ 1


Скачать 370.71 Kb.
Название3 Розділ 1
страница7/10
Размер370.71 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
^

Розділ 6

ТЕОРІЯ ІГОР, ТЕОРІЯ ГРАФІВ І СІТКОВЕ ПЛАНУВАННЯ


Основні поняття та класифікація ігор

Застосування апарату теорії ігор в економіці


Теорія графів і сіткове планування


^ 6.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА КЛАСИФІКАЦІЯ ІГОР

В оптимізаційних моделях вибір рішення здійснювався однією особою. В теорії ігор рішення приймаються кількома учасниками. Значення цільової функції для кожного з них залежить від рішень, що приймаються рештою учасників. Теорія ігор ще має назву теорії кон­фліктних ситуацій. Прикладами є ситуація "покупець-продавець", карткові та спортивні ігри, олігополістичні моделі. Конфлікт може бути результатом свідомих і стихійних дій різних учасників.

^ Гравці в теорії ігор — це учасники (суб'єкти) конфлікту. Вони відрізняються іменами або номерами. Можливі дії кожної зі сторін мають назву стратегії, або ходів.

Інтереси сторін представляються функціями виграшу (платежу) для кожного з гравців.

Гра — це модель, яка формалізує змістовний опис конфлікту.

Теорія ігор уперше була системно викладена Дж. фон Нейманом і О. Монгерштерном у 1944 р. В роки Другої світової війни і після неї теорія ігор привернула увагу військових як апарат для дослідження стратегічних рішень. Проте основним застосуванням теорії ігор ста­ла економіка. У 1994 р. Нобелівську премію з економіки одержали Джон Неш (США), Джон Харсаньї (США), Рейнхард Зельтен (Німеч­чина) за праці у сфері теорії ігор.

Ігри класифікують залежно від обраного критерію: за кількістю гравців, за кількістю стратегій, за властивостями функцій виграшу та за можливостями попередніх переговорів між гравцями.

Залежно від кількості гравців розрізняють ігри з двома, трьома і більше учасниками. Теорію оптимізації, наприклад, можна розгляда­ти як теорію ігор з одним гравцем. Можна досліджувати також ігри з нескінченною кількістю гравців.

^ За кількістю стратегій розрізняють скінченні та нескінченні ігри. У скінчених іграх кількість можливих стратегій є числом скінченим (підкидання монети — дві стратегії, підкидання кубика — шість стратегій). Стратегії у скінчених іграх називають чистими стратегі­ями. В нескінченних іграх кількість стратегій є нескінченною.

За властивостями функцій виграшу (платіжних функцій) теорію ігор поділяють на три види. Гра, в якій виграш одного з гравців до­рівнює програшу другого, має назву гри з нульовою сумою, або анта­гоністичної гри. Якщо гравці виграють і програють одночасно та їм вигідно діяти разом, то такі ігри мають назву ігор з постійною різни­цею. Гра з ненульовою сумою — це гра, в якій наявні конфлікт та уз­годжена дія гравців.

За можливістю попередніх переговорів між гравцями розрізняють кооперативні та некооперативні ігри. ^ Кооперативна гра — це гра, в якій до її початку учасники утворюють коаліції і приймають угоди про свої стратегії. Некооперативна гра — гра, в якій гравці не можуть координувати свої стратегії. Прикладом кооперативної гри може стати ситуація лобіювання у парламенті прийняття рішення зацікав­лених у ньому учасників шляхом голосування.

Розглянемо гру з двома учасниками, яка має скінчену кількість стратегій. Це дозволить зобразити гру за допомогою платіжної мат­риці.

Припустімо, кожен гравець має дві стратегії: "Так" або "Ні". Ці стратегії можуть являти економічний вибір, наприклад, підвищувати або знижувати ціну та політичний вибір, наприклад, приймати або не приймати закон. Кожному гравцю у кожній ситуації приписують число, яке виражає ступінь задоволення його інтересів. Це число називається виграшем гравця. Відповідність між набором ситуацій і виграшем гравця називається функцією виграшу. У випадку скінчен­ної гри двох осіб функції виграшу кожного з гравців зручно представ­ляти за допомогою матриці виграшів, де рядки зображують стратегії одного гравця, стовпці — стратегії другого гравця. В клітинках мат­риці вказують виграші кожного з гравців у кожній з утворених ситу­ацій. Платіжна матриця відображає виграш кожного гравця за кож­ної комбінації стратегій, що вибираються. Якщо гравці вибирають однакові стратегії, тобто говорять "Так" або "Ні", то виграш одно­го гравця дорівнює одиниці, а програш другого гравця дорівнює мінус одиниці.

Матриця виграшів першого гравця має вигляд:




Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія "Так"

першого гравця "Ні"

1

-1

-1

1

Матриця виграшів другого гравця має вигляд:




Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія "Так"

першого гравця "Ні"

–1

1

1

–1


Для наочності матрицю виграшів для обох гравців можна об'єдна­ти в одну:




Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія "Так"

першого гравця "Ні"

1; –1

–1; 1

– 1; 1

1; –1


Розглянемо приклад задання матриці виграшів для гри з ненульовою сумою, яка має назву дилеми ув'язнених. Суть гри така: двох ув'язнених — співучасників злочину допитують в окремих кімнатах. У кожного з них є вибір: або зізнатись у злочині і тим самим вплутати іншого, або заперечувати свою причетність до злочину. Якщо зізнається лише один з ув'язнених, його звільнять, і звинуваченим буде другий, якого позбавлять волі на термін до 5 років. Якщо обидва зло­чинці будуть заперечувати свою причетність до злочину, обох протри­мають у в'язниці до одного року, якщо обидва зізнаються, обох ув'яз­нять на термін до 3 років.

Платіжна матриця цієї гри має вигляд:




Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія "Так"

першого гравця "Ні"

3; 3

5; 0

0; 5

1; 1


Основним припущенням у теорії ігор є те, що кожен гравець праг­не забезпечити для себе максимально можливий виграш за будь-яких дій партнера. Припустімо, що є скінченна антагоністична гра з мат­рицею виграшів першого гравця А і, відповідно, матриця виграшу другого гравця мінус А. Гравець 1 вважає, що яку б стратегію він не обрав, гравець 2 обере стратегію, яка максимізує його виграш і тим самим мінімізує виграш гравця 1. Оптимальна стратегія гравця 1, яка забезпечить йому найбільший з можливих виграшів поза стратегією, яку обере суперник, буде полягати у виборі стратегії з найвищим з таких платежів. Таким чином, гравець 1 обирає і-ту стратегію, яка є розв'язанням задачі:

max min aij

i j

Гравець 2 так само прагне забезпечити для себе найвищий виграш (найменший програш) незалежно від стратегії, обраної суперником. Його оптимальною стратегією буде стовпець матриці А з найменшим значенням максимального платежу. Таким чином, гравець 2 обере j-ту стратегію, яка є розв'язанням задачі:

min max aij

j i

У підсумку, якщо гравець 1 дотримується обраної максимінної стратегії, його виграш у будь-якому разі буде не меншим за максимінне значення (нижня ціна гри), тобто:

aij ≥ max min aij

i j

Відповідно, якщо гравець 2 дотримується своєї мінімаксної стра­тегії, його програш буде не більший за мінімаксне значення (верхня ціна гри), тобто:

aij

Якщо верхня та нижня ціна гри збігаються:

max min aij = min max aij= a*ij

ij j j i

обидва гравці одержують гарантовані платежі. Значення аij* нази­вається ціною гри. Якщо ціна антагоністичної гри дорівнює 0, гра називається справедливою.

Приклад. Розглянемо гру, в якій гравець 1 володіє трьома стратегі­ями, а гравець 2 — чотирма. Матриця виграшів А гравця 1 має вигляд:

2

4

5

1

3

5

6

4

4

1

2

7

Матриця виграшів другого гравця буде дорівнювати -А. Визначте верхню та нижню ціну гри та вкажіть максимінну та мінімаксну стратегії.

Знаходимо мінімальні значення в кожному рядку:

1-й рядок min (2, 4, 5, 1) = 1; 2-й рядок mіn (3, 5, 6, 4) = 3;

3-й рядок mіn (4, 1, 2, 7)= 1.

Шукаємо максимум з одержаних відповідей mах (1,3,1) = 3.

Отже, нижня ціна гри дорівнює 3.

Верхня ціна гри — це:

min (mах(2,3,4); mах(4,5,1); mах(5,6,2); mах(1,4,7)) = mах(4,5,6,7) = 4.

Отже, нижня ціна гри менша за верхню ціну гри. Гра, в якій вико­нується така строга нерівність, називається не повністю визначеною грою. У випадку коли верхня ціна гри збігається з нижньою ціною, гра називається визначеною.


^ 6.2. ЗАСТОСУВАННЯ АПАРАТУ ТЕОРІЇ ІГОР В ЕКОНОМІЦІ


Дилема ув'язнених може бути застосована до широкого кола еко­номічних і політичних явищ.

У задачі дилеми ув'язнених існує два рівноважних розв'язання. Перше, якщо обидва не зізнаються та їх відпускають, називається Парето-ефективне рішення. Таке рішення максимізує корисність обох сторін. Друге, коли обидва зізнаються, називається рівновагою за Нешем. У цьому випадку жоден з гравців не може покращити свій виграш, змінюючи одноосібно власне рішення. Рівновага за Не­шем — це ситуація, коли стратегія кожного з гравців є найкращою реакцією на дії іншого гравця.

Подібна ситуація властива олігополії, оскільки олігополісти та­кож здійснюють некооперативний вибір, перебуваючи в умовах взає­мозалежності.

Припустімо, ринок поділяють між двома фірмами-олігополістами: фірмою А та фірмою В. Якщо б обидві фірми могли співпрацю­вати, то, скоротивши випуск і призначивши монопольно високі ціни, вони одержали б і високий прибуток по 100 грн за одиницю продукції. Однак фірми діють як конкуренти. Тому вони можуть пору­шити негласну угоду всупереч очікуванням суперника понизити ціни і захопити частину його ринку, одержавши ще більший прибуток у 140 грн за одиницю. Тоді прибуток суперника ще більше скоротить­ся і становитиме, наприклад, 20 грн. Спробуючи переграти суперни­ка, кожен гравець вибере низькі ціни, та обидві фірми одержать при­буток по 60 грн замість 140. Варіанти прибутків залежно від вибору цін зображені у платіжній матриці.

Фірма А

Фірма В


Низькі ціни

Високі ціни

Низькі ціни

60; 60

140; 20

Високі ціни

20; 140

100; 100

Фірма А і фірма В не можуть діяти узгоджено і роблять вибір на підставі цінової поведінки конкурента. Обидві фірми вибирають най­вищі ціни і одержують однаковий прибуток по 60 грн за одиницю продукції. В результаті ризики мінімізовані, й олігополістичний ри­нок перебуває в умовах рівноваги за Нешем. Це — часткова рівнова­га, оскільки фірми не максимізують свою корисність. Ця рівновага збережеться доти, доки в олігополістів не з'явиться стимул до зміни обсягів випуску.

У мікроекономічних моделях розглядають такі моделі поведінки олігополістів: ламана крива попиту, таємний зговір (картель), лідер­ство в цінах, принцип ціноутворення "витрати-плюс".

Аналіз взаємовідносин двох фірм в умовах дуополії був запропо­нований 1838 року французьким економістом А. Курно (1801-1877). Модель Курно має такі припущення. Фірми А та В виробляють одно­рідний товар. їм відома крива ринкового попиту. Обидві фірми приймають рішення про виробництво самостійно та незалежно один від одного. Кожна з фірм передбачає випуск товару конкурента по­стійним, продавці не мають інформації про свої помилки. При цьому можливі різні варіанти.

Якщо фірма В приймає рішення призупинити виробництво, то по­пит повністю задовольняється випуском фірми А. Обсяг виробницт­ва, який максимізує прибуток, буде визначатись з умови збігання граничного доходу і граничних витрат. Якщо фірма В буде виробля­ти максимальну кількість товару, то фірма А відреагує на це зупинкою виробництва. Якщо позначити на графіку зміни випуску фірми А залежно від зміни випуску фірми В, одержимо криву реакції фірми А: Rа. Стосовно фірми В одержимо криву реакції фірми В: Rь. Перетин кривих реагування цих двох фірм (точка Е) показує рівновагу Курно: кожна фірма вірно передбачає поведінку конкурента і приймає опти­мальне для себе рішення.



Рис. 6.1. Рівновага Курно

Модель рівноваги Курно припускає, що фірми-дуополісти конку­рують одна з одною. Якщо фірми домовляться максимізувати сукуп­ний прибуток, щоб потім поділити його навпіл, то множина роз­в'язувань цієї задачі буде належати контрактній кривій (пряма АВ). Модель Курно — це приклад некооперативної гри з нульовою сумою.

Окрім моделі Курно, дуополію можна розглядати за моделями Бертрана, Еджуорта і Штакельбергера.


^ 6.3. ТЕОРІЯ ГРАФІВ І СІТКОВЕ ПЛАНУВАННЯ

Теорія графів зародилась під час розв'язування головоломок у XVIII ст., однак довго була осторонь головних напрямів досліджень.

Поштовх до розвитку теорія графів одержала на межі ХІХ-ХХ ст., коли різко зріс інтерес до праць у галузі топології та комбінаторики. Як окрема дисципліна теорія графів уперше була розглянута у праці угорського математика Кьоніга у 30-ті роки XX ст. Графи ефектив­но використовуються в теорії планування та управління, соціології, лінгвістиці, економіці, медицині.

Сітки стали зручним знаряддям для опису та аналізу складних проектів. Сіткові моделі складних комплексів робіт були розроблені і почали використовуватись у 50-ті роки XX ст. Сіткова модель за­стосовувалась у США при створенні балістичних ракет "Поларіс", призначених для оснащення атомних підводних човнів американсь­кого військово-морського флоту. У комплексі робіт брало участь понад 6000 фірм, роботи виконувались на території 48 штатів, а сітковий графік містив більше 10 тисяч подій.

Перша система планування й управління в США має назву ПЕРТ. Успіхи в її застосуванні досить значні. Це підтверджує обов'язкове її застосування у будівництві. Тривалість економічного процесу із зас­тосуванням системи скорочується на одну третину.

У СРСР найпоширенішими були системи планування та управлін­ня СПУ. В основі цих систем лежать сіткові графіки. Системи СПУ з успіхом застосовувались під час спорудження ТЕЦ у Лисичанську, при реконструюванні доменної печі "Запоріжсталі", при будівництві метромосту через Дніпро в Києві.

^ Сітковий графік є наочним відображенням економічного процесу. Сітки, які невеликі за обсягом, можуть аналізуватись без використан­ня ПЕОМ. Сітки з великою кількістю подій у сучасних умовах за на­явності потужних комп'ютерів і програм легко реалізуються та вико­ристовуються.

Граф — це непуста множина точок і множина відрізків, обидва кінці яких належать заданій множині точок.

Позначимо граф буквою О. Відрізки, які з'єднують точки графа, можуть бути лінійними та нелінійними. Довжини відрізків і розташу­вання точок є довільними.



Рис. 6.2. Приклади зображення графів

Точки графа називаються вершинами, відрізки — ребрами графа. Граф на рис. 6.2, а, в має чотири вершини і чотири ребра. Граф на рис. 6.3, а має 5 вершин і 3 ребра, на рис. 6.3, б—4 вершини і 6 ребер.



Рис. 6.3. Приклади зображення графів

Вершини, які не належать жодному з ребер, називаються ізольова­ними. На рис. 6.3, а граф має дві ізольовані вершини. Вершини графа позначаються числами або великими буквами, ребра — парами чи­сел або парами букв.

Прикладами графів можна вважати схеми доріг, плани виставок, бізнес-плани. Головна їх особливість полягає в тому, що на схемах графів відображаються лише зв'язки між об'єктами.

Граф називається повним, якщо кожні дві різні вершини з'єднані одним і тільки одним ребром, якщо існують вершини, які не з'єднані з ребром, граф має назву неповного графа.



Рис. 6.4. Повний граф Рис. 6.5. Неповний граф

Для того щоб задати повний граф, достатньо знати кількість його, вершин. Кожній вершині у повному графі з п вершинами належить и-1 ребро.

Ступінь вершини — кількість ребер графа, яким належить ця вер­шина.



Рис. 6.6. Графи з різними ступенями вершин


На рис. 6.6, а і б зображені графи зі ступенем вершин: 2 та 0 відпо­відно. У графа на рис. 6.6, в ступені вершин є різними. Вершина А має ступінь 2. Вершини В та С мають ступінь 1.

Якщо ступінь вершини — непарне число, то вершина називається непарною, і навпаки.

Шляхом графа від вершини А1 до вершини Ап називається по­слідовність ребер від А1 до Аn, в якій кожні два сусідніх ребра мають спільну вершину і кожне ребро зустрічається лише один раз. Верши­на А [ називається початком шляху. Вершина Ап — кінцем шляху. За означенням вершини шляху можуть повторюватись.

Шлях від А1 і до Ап називається простим, якщо він проходить через кожну вершину графа тільки один раз.

Приклад. Знайти шляхи між вершинами графа А1 та А4. Який шлях є простим?



Шляхи між вершинами є простими:

1. (A1, A4);

2. (A1, A2); (A2, A3); (A3, A4);

Циклом називається шлях, у якому збігаються його початкова та кінцева вершини.

За прикладом циклом у графі є шлях 1, А2), (А2, А3), (А3, А4), (А41).

Довжиною шляху називається кількість ребер цього шляху.

Довжиною циклу називається кількість ребер у цьому циклі.

Приклад. Визначити довжину шляху від вершини А1 до вершини А5 ?.



Довжина шляху від А1 до А5:

1. (А1, А3) = 1

2.(А1, А2),(А2, А3),(А3 5) = 3.

3. 1, А2), (А2, А3), (А3, А4), (А4, А5) = 4.

Дві вершини А1 та Ап називаються зв'язаними, якщо в графі існує шлях з кінцями А1 та Ап і незв'язаними, якщо в графі не існує жодно­го шляху, що пов'язує їх.

Деревом називається будь-який зв'язаний граф, який не має циклів.



Рис. 6.7. Дерево

У будівництві великого підприємства бере участь велика кількість організацій і людей. Як найкраще організувати окремі роботи, щоб бу­дівництво завершити у найкоротший строк? Як розподілити устатку­вання, фінансові ресурси, робочу силу, щоб мінімізувати витрати? При плануванні такого комплексу робіт допоможе сіткове планування.

Проектом називається деякий запланований комплекс робіт, не­обхідний для досягнення мети. До проекту можна зарахувати проект будівництва, план дій на тиждень, бізнес-план, план написання дип­ломної роботи. Проект поділяється на окремі роботи.

Наприклад, проект написання випускної дипломної роботи ма­гістра містить:

1. Підбір літератури з обраної тематики або роботу з каталогом.

2. Перегляд обраної літератури, вибір найцікавішого і доступно­го матеріалу.

3. Робота з періодичними виданнями. Огляд статей і публікацій.

4. Ознайомлення з WЕВ-сторінками. Підбір потрібних адрес.

5. Складання плану дипломної роботи.

6. Обробка матеріалу на комп'ютері.

7. Групування та аналіз статистичних даних.

8. Набір роботи на комп'ютері.

9. Редагування тексту та оформлення роботи відповідно до вимог. 10. Здача дипломної роботи на рецензію.

Робота, що входить до проекту (комплексу), потребує витрат часу. Деякі роботи можуть виконуватись тільки у певному порядку, інші — одночасно і незалежно одна від одної. Якщо кожній події по­ставити відповідно вершину графа, а кожній роботі — орієнтоване ребро, то одержимо граф. Він буде відображати послідовність вико­нання окремих робіт і початку подій в єдиному комплексі.

Якщо над ребрами проставити час, який необхідний для завер­шення відповідної роботи, одержимо сітку. Зображення такої сітки називається сітковим графіком. Умовна залежність між подіями зоб­ражується штриховими стрілками.

Сітковий графік — це графічна модель комплексу робіт. В основі побудови сіткового графіка лежать поняття: робота, події та шлях.

Роботу поділяють на види: 1) реальна робота — будь-який трудо­вий процес, що потребує витрат праці, часу і матеріальних ресурсів; 2) очікування — пасивний процес; 3) фіктивна робота.

Події поділяють на початкову, завершальну та проміжні. Пара чисел відображає час, необхідний на виконання роботи (і, j). Три­валість роботи позначається і(і, j).

Приклад. Дано сітковий графік. Визначаємо критичний шлях і ранній з можливих строків початку завершальної події.



^ Тривалість шляху в сітковому графіку — час, необхідний для ви­конання всіх робіт, що лежать на шляху L. Тривалість повного шля­ху t(L).

Шлях, який має найбільшу тривалість, — це критичний шлях.

Визначаємо шляхи даного графа та їх тривалість.

L1(0, 1, 2, 7); t(L1) = 10 + 4 + 6 = 20; L2(0, 3, 1, 2, 7);

t(L2) = 5 + 7 + 4 + 6 = 22;

L3(0, 3, 4, 7); t(L3) = 5 + 2 + 10 = 17; L4(0, 5, 6, 7); t(L4) = 3 + 2 + 8 = 13.

Тривалість найдовшого шляху становить 22 (доби, тижні, години).

Проект не може бути реалізований менш ніж за 22 (доби, тижні, години).

^ ОСНОВНІ ТЕРМІНИ

Гра

Стратегія

Функція виграшу

Сітковий графік

Дилема ув’язнених

Граф

Проект

Тривалість шляху

Теорія ігор

Скінченні та нескінченні ігри

Матричні ігри

Кооперативна та некооперативна гра

Максимінна та мінімаксна стратегії

Рівновага за Нешем

Модель Курно

Крива реагування

Контрактна крива

Довжина шляху


^ КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Які задачі розв'язують в моделях теорії ігор?

2. Чим представлені інтереси сторін у теорії ігор?

3. Які існують класифікації теорії ігор?

4. У чому полягає особливість матричних ігор?

5. Що означає "максимінна стратегія"?

6. Які рівноважні рішення існують у дилемі ув'язнених?

7. Які олігополістичні моделі можна розв'язувати за допомогою теорії ігор?

8. Що відображає сітковий графік?

9. Яка основна особливість графів?

10. До яких економічних процесів ви запропонували б застосува­ти сітковий графік?

^ ТЕСТИ ТА ЗАДАЧІ

1. Математична теорія конфліктних ситуацій — це:

а) математичне програмування; б) теорія ігор;

в) регресійний аналіз; г) теорія графів.

2. Теорію ігор з одним гравцем можна розглядати як теорію:

а) графів; б) оптимізації;

в) статистики; г) балансову.

3. Якщо гравець дотримується максимінної стратегії, його виграш завжди буде:

а) меншим; б) не меншим;

в) більшим; г) не більшим за максимінне значення.

4. Ситуація, коли стратегія кожного з гравців є найкращою реак­цією на дію іншого гравця, має назву:

а) Парето-ефективного рішення; б) рівноважної гри;

в) рівноваги Курно; г) рівноваги за Нешем.

5. До моделей поведінки олігополістів не належать:

а) ламана крива попиту; б) кейнсіанський хрест;

в) картель; г) лідерство у цінах.

6. На олігополістичному ринку діють дві фірми, які випускають однорідний товар. Функції реагування кожної фірми мають вигляд:

Q1 = 48 – 2Q2; Q2 = 48 – 2Q1

Де Q1, Q2 – обсяги виробництва фірм.

Визначте за умови рівноваги Курно величину випуску для кожної фірми.

7. Знайдіть оптимальні стратегії гравців і ціну гри за наступною матрицею:



8. Ступінь вершини А даного графа дорівнює: а) 1; б) 3; в) 4; г) 5.



9. Будь-який трудовий процес, що потребує витрат праці, часу і матеріальних ресурсів, це:

а) очікування; б) подія;

в) дійсна робота; г) фіктивна робота.

10. Час, необхідний для виконання усіх робіт у сітковому графіку, що лежать на цьому шляху, має назву:

а) тривалість шляху; б) проект;

в) цикл; г) проміжна подія.

11. За сітковим графіком визначте тривалість найкоротшого шляху.



12. За сітковим графіком визначте критичний шлях і ранній з можливих строків початку останньої події (найдовший шлях).



^ СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Березина Л. Ю. Графы и их применение. — М.: Просвещение, 1979.

2. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рискових ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. —-М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Замков О. О., Черемних Ю. А., Толстопятенко А. В. Матема-тические методы в экономике: Учебник. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Дело и сервис, 1999.

4. Мзнкью Н. Г. Принципы экономикс. — СПб.: Питер Ком, 1999.

5. Нуреев Р. М. Курс микроэкономики: Учеб. для вузов. — М.: НОРМА, 2000.


Розділ 7
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

3 Розділ 1 iconМетодичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни "Електричні машини" Розділ "Трансформатори"
Електричні машини”. Розділ “Трансформатори” (для студентів спеціальностей 090601 “Електричні станції”, 090602 “ Електричні системи...
3 Розділ 1 iconМетодичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни "Електричні машини" розділ "Асинхронні машини"
Електричні машини”. Розділ “Асинхронні машини” (для студентів спеціальностей 090601 “Електричні станції”, 090602 “Електричні системи...
3 Розділ 1 iconЗміст частина теоретико-методолопчні засади та зміст розвитку мовлення дітей розділ Теоретико-методологІчнІ засади дошкільної лінгводидактики
Розділ Завдання, зміст, засоби, форми, методи і прийоми розвитку мовлення дітей
3 Розділ 1 icon3 Розділ 1
Передмова
3 Розділ 1 iconВступ Розділ Особливості засобів навчання та їх роль у ефективному засвоєнні знань учнями
Розділ Особливості засобів навчання та їх роль у ефективному засвоєнні знань учнями
3 Розділ 1 iconКнига розділ І влітку 1658 року Полтава згоріла дощенту

3 Розділ 1 iconРозділ дидактичні основи використання сучасних інформаційних технологій в навчальному процесі

3 Розділ 1 iconРозділ педагогічні основи вивчення полтавського розпису тарілок на уроках образотворчого мистецтва

3 Розділ 1 iconРозділ гемостаз ТемИ
Пмд при зовнішніх І внутрішніх кровотечах. Особливості догляду й інтенсивної терапії
3 Розділ 1 iconОсновні вимоги до курсових робіт
Другий розділ – практичний, складається з опису завдання, що виконане самостійно
3 Розділ 1 iconРозділ інфузійна терапія. ТемИ
Ускладнення в разі переливання кровозамінників, перша медична допомога при цьому
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы