Исследование мат мод физического процесса и явления

Основные цели и задачи мат физики. Предмет и методы ее исследования. Предметом мат физ является построение и исследование мат.мод. физического процесса и явления. Этапы: Большинство задач классической мат физ сводится к Д.У. и краевым задачам для этих уравнений – уравнений мат физ. Поэтому мат физ тесно связана с такими разделами математики как теория Д.У., теория функций, функциональный анализ, Т.В., приближенные методы и вычислительная математика. Изучение мат мод квантовой физики потребовало привлечения таких новых областей математики, как теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, геометрических, топологических, алгебраических и теоретико-числовых методов. Важное место в современной мат физ занимает нелинейный анализ. Исследование нелинейных физических систем получило широкое распространение со второй половины XX века благодаря созданию и внедрению мощных средств вычислительной техники. Оказалось, что практически все физические явления нелинейны. Линейное приближение, исследуемое ранее, либо описывает очень частные случаи поведения физических систем, либо является чрезвычайно грубым. Тем не менее, исследованию линейных физических систем по-прежнему уделяется значительное внимание, так как: Линейные мат мод описывают большинство физических явлений, изученных до середины XX века. Изучение методов постановки и решения линейных начально-краевых задач создает необходимую базу для дальнейшего исследования нелинейных систем. В процессе исследования математической модели представляется полезным абстрагироваться от ее физического содержания. Это связано с тем, что совершенно различные по своей природе процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Например, уравнение Пуассона в зависимости от смысла, придаваемого величинам и , может описывать распределение тепла в среде с источниками, распределение потенциала электростатического поля в электростатике. 2. Постановка краевой задачи поперечных колебаний тонкой струны. Рассмотрим процесс колебаний тонкой струны длины . В момент времени точкам струны сообщают начальные отклонения и скорости. Поставим задачу для определения малых поперечных колебаний точек струны при , если: а) концы струны жестко закреплены; б) концы струны свободны; в) концы струны закреплены упруго; г) концы струны движутся в поперечном направлении по заданному закону. Рассмотрим процесс колебаний тонкой упругой нити, которая может свободно изменять свою форму. Тогда напряжения, возникающие в упругой нити, направлены по касательной к ее мгновенному профилю, такую нить будем называть струной. Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль Оx. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, считая, что перемещение частиц струны происходит в одной плоскости и все точки струны движутся перпендикулярно Оx. Обозначим через отклонение от оси положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени . В момент t график функции в плоскости UX представляет собой профиль струны. Рассматриваем только малые колебания, такие, что смещение и производные столь малы, что квадратами этих величин и их произведениями можно пренебречь. Тогда По этой же причине не происходит удлинения участков струны. В этом случае, согласно закону Гука, натяжение ^ Т в каждой точке струны не будет изменяться. Покажем, что натяжение Т можно считать независящим от точки приложения х. Для поперечных колебаний струны сумма проекций на ось ОХ сил натяжения равна нулю: Где - малые углы, следовательно В случае вынужденных колебаний на струну действует внешняя распределенная сила , направление которой будем считать перпендикулярным оси Ох. Распределение масс в струне будем характеризовать линейной плотностью , которая в общем случае изменяется вдоль струны. Для однородной струны постоянного сечения Перейдем к построению математической модели. Используя 2 закон Ньютона где - импульс системы, равный сумме импульсов всех ее частиц; F – результирующая внешняя сила. В качестве такой механической системы рассмотрим выделенный участок струны , в нем . Учитывая, что движение этой системы происходит в направлении, перпендикулярном оси Ох, запишем уравнение (1) в проекции на ось Ои: Так как проекция суммарного импульса системы то Проекция внешних сил на направление Ou состоит из двух слагаемых. Одно из них учитывает действие сил натяжения на концах выделенного участка струны, а другое - суммарную вынуждающую силу, действующую на частицы этого участка струны. Эти проекции определяются следующими соотношениями: В силу произвольности выбора отрезка из (6) следует, что в любой точке струны в любой момент времени подынтегральное выражение =0, т.е. Полученное соотношение представляет собой Д.У. в частных производных 2-го порядка относительно искомой функции . Оно описывает процесс малых поперечных колебаний струны, и его называют неоднородным одномерным волновым уравнением (уравнением плоских волн). Это уравнение гиперболического типа. В случае постоянной линейной плотности уравнение колебаний однородной струны принимает вид где ; Если внешних сил нет, то , и однородное волновое уравнение имеет вид: - трехмерное однородное уравнение. Поставим начальные и граничные условия. Из постановки задачи следует, что начальные отклонения точек струны и начальные скорости известны: и - известные функции. Рассмотрим условия на границе струны. а) Если концы струны жестко закреплены, то граничные условия принимают вид: б) Рассмотрим случай, когда концы струны свободны. Выберем участок KM на левой границе струны. Длина этого участка , причем . При рассмотрении колебаний участка KM струну в его окрестности нельзя считать бесконечно тонкой. Поэтому помимо деформаций растяжения – сжатия следует учитывать деформацию изгиба. Натяжение струны вследствие изгиба Поскольку струна является свободной, последнее выражение необходимо приравнять нулю, откуда следует Аналогично для запишем: . в) Если концы струны закреплены упруго, то на них действует сила упругости . По закону Гука Последнее равенство перепишем в виде: где . г) Если концы струны движутся в поперечном направлении по заданному закону, то граничные условия имеют вид: Здесь и – известные функции времени. В силу непротиворечивости постановки начально-краевой задачи функции и должны удовлетворять следующим условиям: Итак, малые поперечные колебания струны описываются уравнением (7), (8), (9) с начальными условиями (10) и парой граничных условий вида (11)-(15). Постановка краевой задачи продольных колебаний стержня. Рассмотрим задачу о малых продольных колебаниях стержня длины . В момент времени его поперечным сечениям сообщены малые продольные смещения и скорости. Поставим задачу исследования положения всех точек стержня в момент времени . Будем при этом предполагать, что все точки произвольного сечения колеблются одинаково. Рассмотрим следующие случаи: а) концы стержня жестко закреплены; б) концы стержня движутся в предельном направлении по заданным законам. в) концы стержня свободны; г) концы стержня упруго закреплены. Пусть ось Ox совпадает с направлением оси стержня. Выберем некоторое сечение стержня , смещение которого обозначим через . Рассмотрим также сечение , расположенное от на расстоянии . Смещение сечения равно: Тогда относительное удлинение участка стержня, расположенного между этими сечениями равно: Тогда по закону Гука, напряжение в сечении стержня: где E – модуль упругости, а сила упругости Здесь s – площадь поперечного сечения. Найдем силу, действующую на участок : Эти силы направлены в противоположные стороны и «растягивают» участок стержня между сечениями и . Но т.к. расстояние мало, можно приложить их в одну точку и вычислить равнодействующую, которая вызывает движение участка стержня: В общем случае на стержень также действуют внешние силы. Пусть – объемная плотность внешних сил. Тогда На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения участка стержня между сечениями и : Здесь – масса участка стержня между сечениями и . Пусть – объемная плотность стержня. Тогда , что позволяет записать: Если , то Здесь , . Уравнения (6) и (7) являются уравнениями колебаний. На уравнения (6) и (7) накладываются начальные условия: Рассмотрим граничные условия. а) В случае жесткого закрепления концы стержня не отклоняются, следовательно: б) Если законы движения концов стержня заданы, то Потребуем непротиворечивости начальных и граничных условий. Запишем: в) Если концы стержня свободны, то упругие силы на границах равны нулю, что позволяет записать: г) Если концы стержня закреплены упруго, то упругие силы на границах пропорциональны смещению: откуда следует: Здесь , . Итак, продольные колебания стержня описываются уравнением (6), (7) с начальными условиями (8) и граничными условиями (9)-(13). ^ 4. Постановка краевой задачи стационарного обтекания тела идеальной жидкостью. Рассмотрим движение жидкости, пренебрегая вязкими силами (идеальная жидкость). Пусть – вектор скорости движения жидкости, – плотность жидкости, – мощность источников. Выделим в жидкости произвольный объем Ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости в объеме Ω в единицу времени равно По закону сохранения массы где – количество жидкости, выделенной источниками; – количество жидкости, вытекающей из объема Ω через поверхность S: Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим: Подставляя (3), (4), (1) в (2), имеем: Определенный интеграл по конечному объему может быть равен нулю только в том случае, когда подынтегральное выражение равно нулю. Имеем: Уравнение (6) получило название уравнения неразрывности. Рассмотрим задачу о стационарном обтекании твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной идеальной жидкости при отсутствии источников. Скорость жидкости на бесконечности равна . Поскольку жидкость несжимаемая, то ее плотность остается постоянной: . Мощность источников равна нулю. Тогда уравнение принимает вид: Также учтем, что поток жидкости остается потенциальным. Тогда запишем: Подставим (7) в (8): и перепишем в виде: здесь – потенциал скорости. Сформулируем граничные условия, накладываемые на (9). 1) условие на бесконечности и записывается в виде: 2) записывается для поверхности S и характеризует ее непроницаемость: . Поскольку имеем: ^ 5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде. Поставим задачу исследования переноса тепла в неподвижной среде, занимающей ограниченную область G с границей Γ, если задана мощность источников , а также распределение температуры в объеме G в начальный момент времени. Рассмотрим следующие условия на границе Γ: а) на границе области поддерживается заданная температура; б) на границе области поддерживается заданный тепловой поток; в) передача тепла через границу происходит по закону Ньютона; г) передача энергии с поверхности тела осуществляется посредством излучения; д) рассматриваются температурные поля в многослойных телах и оболочках. Рассмотрим одномерный процесс передачи теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала. Плотность материала, его удельную массовую теплоемкость с и коэффициент теплопроводности k в общем случае неоднородной среды будем считать зависящими только от одной пространственной координаты х. При построении мат мод процесса будем предполагать, что среда неподвижна, а изменение объема материала, связанное с изменением температуры, пренебрежимо мало. Тогда можно считать, что процесс теплопроводности не связан с совершением механической работы. В рассматриваемом слое материала в качестве термодинамической системы выделим объем G в виде цилиндра с основанием, перпендикулярным Ох, и площадью . При этом ось цилиндра параллельна Ох. Положение оснований цилиндра определяется координатами Из первого закона термодинамики, записанного для G, следует: Где - изменение внутренней энергии системы в единицу времени, - количество теплоты, отдаваемое через поверхность цилиндра за единицу времени, - количество выделенной источником теплоты в единицу времени. Внутреннюю энергию системы найдем интегрированием объемной плотности внутренней энергии по объему цилиндра. Найдем тепловой поток через всю поверхность S интегрируя по поверхности S плотность теплового потока Q, где n – единичная нормаль к S: Согласно физическому закону Фурье, при передаче теплоты теплопроводностью Т.к. в рассматриваемом случае вектор плотности теплового потока имеет лишь одну составляющую , то тепловой поток от выделенного объема проходит лишь через основание цилиндра, причем Внутри выделенного объема вследствие разных причин может выделяться или поглощаться теплота. Если под понимать объемную плотность тепловых источников, то за единицу времени в рассматриваемом объеме выделится () или поглотится () количество теплоты Подставим (2)-(4) в (1): В силу произвольности выбора координат и оснований цилиндра равенство нулю интеграла в уравнении (5) возможно лишь при равенстве нулю подынтегральной функции. Таким образом: Заметим, что объемная плотность внутренней энергии рассматриваемой несжимаемой среды зависит от температуры, а производная , определяет объемную теплоемкость материала. Поэтому Тогда из выражения (6) получаем дифференциальное уравнение: Для однородного материала с независящими от температуры теплофизическими характеристиками уравнение (7) можно записать в виде где - постоянная, которую называют коэффициентом температуропроводности материала; . Уравнения (7) и (8) являются Д.У. в частных производных параболического типа. Чтобы с помощью уравнения теплопроводности описать эволюцию температурного поля в теле, необходимо задать начальное условие. Для рассматриваемого одномерного процесса начальное условие задается в виде известной зависимости . Граничные условия: а) Если на границе Г области G поддерживается заданная температура, то Здесь - известная функция точки Р поверхности S и времени . б) Граничное условие второго рода, когда на поверхности S тела задают тепловой поток , где - вектор плотности теплового потока, a - единичная внешняя нормаль к поверхности S. По закону Фурье Тогда: где - известная функция. В случае теплоизолированной поверхности и мы имеем однородное условие на всей поверхности S. в) граничное условие третьего рода описывает тепловой режим на поверхности тела, соответствующий конвективному теплообмену по закону Ньютона с окружающей внешней средой, имеющей температуру . По закону Ньютона плотность теплового потока на границе тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, т.е. . Коэффициент теплообмена зависит от свойств среды, а в общем случае и от разности температур . Граничное условие третьего рода дает связь между температурой и ее нормальной производной в любой точке поверхности тела где г) нелинейное граничное условие. Если основным механизмом уноса энергии с поверхности тела является излучение, то по закону Стефана - Больцмана Здесь - степень черноты материала, которая в общем случае зависит от температуры; - постоянная Стефана- Больцмана. д) При описании температурных полей в многослойных телах и оболочках на поверхности контакта двух тел используют граничные условия сопряжения (граничные условия четвертого рода). Для идеального теплового контакта эти условия означают равенство температур и тепловых потоков на контактной поверхности S. Для неидеального теплового контакта с термическим сопротивлением R на поверхности контакта тел имеет место равенство тепловых потоков, но появляется пропорциональная им разность температур тел, т.е. выполняется условие

Похожие:

	Исследование мат мод физического процесса и явления Предметом мат физ является построение и исследование мат мод физического процесса и явления		20. Разновидности каменной кладки Искусственные мат-лы: силикатные эффективные стеновые блоки бетонные камни бутовый камень (естест-ые мат-лы) блоки из природного...
	В. А. Базарова-Руднева (1924-28 гг.) и заново развернуты в трудах большой группы западных ученых в конце 50-х начале 60-х А иногда научное исследование, точнее, одна из его разновидностей, направленная на изучение перспектив развития какого-то процесса...		Паранормальные явления, инородные явления или аномальные явления Паранормальные явления, инородные явления или аномальные явления — разного рода феномены, существование которых не имеет научных...
	Исследование поля двухпроводной линии с учетом влияния земли; Исследование явления электростатического экранирования области контрольного кабеля от поля двухпроводной линии. Исследование явления электростатического экранирования области контрольного кабеля от поля двухпроводной линии		Мат разрушает хромосомы Исследователи изобрели аппарат, который переводит человеческие слова электронные колебания. Выяснилось, что мат может быть страшнее...
	Если ребенок ругается матом Мат настолько стал частью нашей культуры, что подчас уже не вызывает ни возмущения, ни неодобрительный замечаний. Мат упрощает выражение...		Ass (arse) /аc (arc)/ жопа Если не любите мат, то вообще не читайте, но для тех кто «учит» английский будет чем-то полезно. Мат наиболее грубая, обсценная разновидность...
	Люси Мод Монтгомери Аня из Зеленых Мезонинов Люси Мод Монтгомери (1877–1942), открывающая новую серию романов, повествует о судьбе рыжеволосой героини, которую Марк Твен назвал...		Анкета (Русская Школа Физического Театра) Русская школа физического театра территория эксперимента, на которой изучаются точки соприкосновения традиций психологического и...
	Анкета (Русская Школа Физического Театра) Русская школа физического театра территория эксперимента, на которой изучаются точки соприкосновения традиций психологического и...