К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение icon

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение


Скачать 27.35 Kb.
НазваниеК. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение
К.И. Скрябина<> <> <><><>Лабораторная работа:<><><>«Решение
Размер27.35 Kb.
ТипРешение

Московская Государственная Академия Ветеринарной Медицины и Биотехнологии

им. К.И. Скрябина



Лабораторная работа:


«Решение дифференциальных уравнений численными методами с помощью электронных таблиц (EXCEL)»


Зыкова Анна

ВБФ 3 курс, 2 группа


Москва

2013 г.

Содержание:


Введение………………………………………………………………………….3


Решение дифференциальных уравнений численными

методами………………………………………………………………………….4


Решение дифференциальных уравнений численными

методами с помощью электронных таблиц (EXCEL)…………………………..6


Выводы…………………………………………………………………………….8


Список используемой литературы……………………………………………….9


Введение


Численные методы в математике, методы приближенного решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции — записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п.

Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Таким образом, в численных методах числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке; операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке.

Численные методы сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин. Разработка новых численных методов и применение их в ЭВМ привели к возникновению вычислительной математики.

Основами для вычислительных методов являются:



^ Решение дифференциальных уравнений численными методами


  1. Метод Тейлора:

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Пусть функция f(x)бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки {a}. Формальный ряд:

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции fв точке a.

Ряд Тейлора, степенной ряд вида

http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/07368.gif,

где f (x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а.

  1. ^ Метод Эйлера:

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=xi. Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x0 и y0 можно вычислить.

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x0, xN]. Ошибка в определении значения y(xi) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

Основная формула:



  1. ^ Метод Эйлера – Коши:

также относится к методам второго порядка и тоже требует двукратного вычисления функции f (x, y):

y0i+1 = yi + hf (xi, yi);

yi+1 = yi+ (f (xi, yi) + f (xi+1, y0i+1)) h/2

  1. ^ Метод Рунге-Кутты:

Важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.

Согласно этому методу для вычисления одного значения функции y(x) необходимо вычислить функцию f(x, y) в четырех точках:

K1i = f (xi, yi);

K2i = f (xi + h/2, yi + K1i/2);

K3i= f (xi + h/2, yi + K2i/2);

K4i= f (xi + h, yi + K3i);

yi+1 = yi + h (K1i + 2K2i + 2K3i + K4i)/6.

Погрешность этого метода пропорциональна h4, т.е. |yi-yi*| < O(h4).

Методы Рунге-Кутта относятся к так называемым одношаговым методам, поскольку для вычисления значения функции y(x) в точке xi+1 требуется знать только значение функции y(x) в одной предыдущей точке xi.

^ Решение дифференциальных уравнений численными методами с помощью электронных таблиц (EXCEL)

Задачи:

  • научиться решать дифференциальные уравнения численными методами с помощью электронных таблиц (EXCEL) четырьмя предложенными методами;

  • вычислить отклонения и выбрать метод с наименьшими.


Аналитическое решение уравнения:


;


;


Вычисление в электронных таблицах (EXCEL):


X

аналит. решение

Тейлор

Эйлер

Эйлер-Коши

Рунге-Кутта

0

0

0

0

0

0

0,1

-0,264771804

-0,021669

0

0,004975186

-0,226569751

0,2

-0,188161248

-0,035773

0,0099504

0,035025028

-0,148613851

0,3

-0,115962561

-0,042698

0,0285863

0,089292565

-0,074847331

0,4

-0,047435377

-0,042753

0,054583

0,168333216

-0,004614452

0,5

0,018086363

-0,036176

0,0866542

0,268871522

0,062687363

0,6

0,0811759

-0,023149

0,1236249

0,385360664

0,127587339

0,7

0,142309859

-0,00381

0,1644738

0,511732299

0,190534049

0,8

0,201874552

0,0217354

0,2083458

0,642705794

0,251897651

0,9

0,260177651

0,0534043

0,2545462

0,774424123

0,311977819

1

0,317461553

0,0912104

0,3025224

0,904516075

0,371014135


Вычисление отклонений в электронных таблицах (EXCEL):


Y-Тейлор

Y-Эйлер

Y-Эйлер-Коши

Y-Рунге-Кутта

0

0

0

0

-0,2431

-0,26477

-0,26974699

-0,038202053

-0,15239

-0,19811

-0,223186276

-0,039547397

-0,07326

-0,14455

-0,205255126

-0,04111523

-0,00468

-0,10202

-0,215768593

-0,042820924

0,054262

-0,06857

-0,250785159

-0,044601

0,104324

-0,04245

-0,304184764

-0,046411439

0,146119

-0,02216

-0,369422441

-0,048224191

0,180139

-0,00647

-0,440831242

-0,050023099

0,206773

0,005631

-0,514246473

-0,051800169

0,226251

0,014939

-0,587054521

-0,053552582



Построение графика в электронных таблицах (EXCEL):


Выводы



  1. Мы ознакомились с численными методами решения математических задач.



  1. Научились решать дифференциальные уравнения четырьмя предложенными методами (Тейлора, Эйлера, Эйлера – Коши и Рунге – Кутты) в электронных таблицах (EXCEL).



  1. Вычислили отклонения, из чего сделали вывод, что метод Рунге – Кутты наиболее близок к аналитическому решению, что также видно из графика.



Список используемой литературы:


  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.




  1. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.




  1. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.




  1. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.



  1. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. Численные методы анализа, 3-е изд. — М.: Наука, 1967

Похожие:

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconК. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение
«Решение дифференциальных уравнений численными методами с помощью электронных таблиц (excel)»
К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconК. И. Скрябина Кафедра экономики, организации и управления сельскохозяйственным производством Курсовая
Фгбоу впо московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологий им. К. И. Скрябина
К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №29 Тема: Зачетная работа по теме: «Учет с подотчетными лицами»

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №1 по курсу: на тему
Лабораторная работа №1 по курсу
К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №6-1 Тема: Работа над созданием презентации программы Microsoft Power Point
Распечатываю рамку стандартного образца где вместо названия документа впечатываю Ф. И. О
К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №1 Тема : «Отладчик debug»
Краткая аннотация: данная работа посвящена знакомству с отладчиком debug, который позволяет
К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа№2

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа № На тему

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №3 Интерполяция функций

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа по макроэкономике на тему "индексы цен"

К. И. Скрябина Лабораторная работа: Решение iconЛабораторная работа №9 Изучение свойств нтмl(часть 1)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы