Лабораторна робота №6-7 icon

Лабораторна робота №6-7


Скачать 33.19 Kb.
НазваниеЛабораторна робота №6-7
Размер33.19 Kb.
ТипЛабораторна робота

Лабораторна робота №6-7

'Квадратичне наближення табличних функцій по методу найменших квадратів'







Мета: навчитися наближувати табличні функції методом найменших квадратів, робити висновки про якість знайденого полінома.

Програмне забезпечення: табличний редактор Microsoft Office Excel, для перегляду відео фрагментів необхідно використовувати Flash Player.

Література:

  1. Демидович Б.П. , Марон И.А. , Основы вычислительной математики – М.: «Наука». 1970.

  2. В.Б.Исаков., Элементы численных методов.



^ КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ:

Для побудови таблиці значень функції береться відрізок , вибираються точки і будь-яким способом визначаються значення функції в цих точках. Числа , називаються табличними аргументами, а числа - табличними значеннями функції .

Визначення Функцію будемо називати табличною функцією, якщо на деякому відрізку задана таблиця її значень.

Необхідно розрізняти табличну функцію та функцію, задану таблично (табличним способом). У другому випадку мова йде тільки про таблицю значень, яка є функцією з областю визначення, що складається зі скінченної множини заданих табличних аргументів. Наприклад, областю визначення
табл. 3.1, що розуміється як «таблично задана функція», буде множина , тоді як включає в себе весь відрізок .

Нехай у результаті експериментів отримана таблиця з довільним розташуванням аргументів. Аналітичне вираження табличній функції може бути невідомим. На основі цієї таблиці потрібно знайти формулу , наближено описує залежність між експериментальними даними таблиці.

Отримане для цієї мети співвідношення називається емпіричною формулою, а функція емпіричною функцією.

Познайомимося з основними ідеями пошуку найкращих емпіричних функцій на прикладі многочленів.

Отже, візьмемо многочлен й степені



і виведемо правило знаходження його найкращих коефіцієнтів.

Спочатку скажемо декілька слів про ступінь многочлена. Насправді, значення a; не впливає на спосіб вирішення завдання, але наведені нижче міркування корисні в суто практичному плані.

Якщо взяти, то найменше значення дають інтерполяційні многочлени, бо для них , при всіх . При такий многочлен єдиний, а при > їх безліч (зауваження після теореми 3.1). Оскільки методи інтерполяції нам уже відомі і, крім того, від ідеї інтерполяції ми відмовилися, будемо вважати <. Незалежно від кількості табличних даних на практиці зазвичай обмежуються многочленами ступеню не вище трьох.

Сума квадратів відхилень для многочлена являє собою невід’ємну функцію від змінних. Позначимо її через F:



Вимагаються нам найкращі коефіцієнти многочлена повинні давати мінімум функції F. З курсу математичного аналізу відомо, що необхідною умовою екстремуму диференційованої функції багатьох змінних є рівність нулю частинних похідних по всім змінним. Обчислимо їх і прирівняємо до нуля :



Для спрощення зимовому і тих випадках, коли це очевидно, межі сумування по будемо опускати.

Провівши підсумовування, зібравши коефіцієнти при і перенісши не містять їх суми в праву частину, отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомих :



Позначимо



і перепишемо систему у вигляді



Нехай рішенням системи є вектор . В [22, п. 201] Показано, що він дійсно дає найменше значення для суми, тобто є точкою мінімуму функції F. Це означає, що з усіх многочленів й степені многочлен



буде найкращим наближенням до розглянутої нами табличній функції (за методом найменших квадратів).

Числа називають відхиленнями, а обчислене за формулою «відстань»



— середньоквадратичним відхиленням функції від табличної функції на відрізку . Абсолютні величини ухилень рівні довжинам відрізків між точками та відповідними точками графіка .

^ ХІД РОБОТИ

Завдання:

  1. По заданій таблиці знайти многочлен другого ступеня , який є найкращим наближенням до відповідної табличної функції по методу найменших квадратів.

  2. Побудуйте графіки таблиці та знайденого многочлена.

  3. Знайдіть всі відхилення від табличних значень і середньоквадратичні відхилення.



і

хі

уі

0

-2,00

5,10

1

-1,80

4,00

2

-1,70

3,20

3

-1,60

3,90

4

-1,40

4,80

5

-1,30

6,10



^ Алгоритм виконання роботи:

  1. На координатній площині побудуйте точки таблиці і переконайтесь, що вони знаходяться поблизу деякої квадратної параболи.

(Відео фрагмент)

(Відео фрагмент)

  1. Запишіть у загальному вигляді систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів многочлена і вирази для коефіцієнтів системи.





  1. Розв’яжіть систему по правилу Крамера.








Розв’язком системи буде деякий вектор .

(Відео фрагмент)

  1. Знайдіть (округливши коефіцієнти до двох цифр у дробовій частині)і побудуйте її графік на тій же площині, де побудовані точки таблиці.

  2. Знайдіть всі відхилення і всі середньоквадратичні відхилення многочлена від табличної функції.

- відхилення.

- середньоквадратичне відхилення

(Відео фрагмент)


^ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИКОНАННЯ:

  1. Знайдіть многочлен другого ступеня , який є найкращим наближенням до відповідної табличної функції по методу найменших квадратів.

  2. Побудуйте графіки таблиці та знайденого многочлена.

  3. Знайдіть всі відхилення від табличних значень і середньоквадратичні відхилення.

Варіант №1

І

0

1

2

3

4

5

Хі

0,10

0,30

0,40

0,60

0,70

0,80

Уі

0,25

0,50

0,65

0,55

0,42

0,30



Варіант №2

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-2,00

-1,80

-1,70

-1,60

-1,40

-1,30

Уі

5,10

4,00

3,20

3,90

4,80

6,10



Варіант №3

І

0

1

2

3

4

5

Хі

1,30

1,40

1,60

1,70

2,00

2,10

Уі

2,40

1,80

1,20

1,40

2,30

2,90



Варіант №4

І

0

1

2

3

4

5

Хі

0,40

0,70

0,90

1,10

1,40

1,60

Уі

0,15

0,83

1,65

1,52

0,90

0,31



Варіант №5

І

0

1

2

3

4

5

Хі

2,00

2,50

2,70

2,90

3,20

3,40

Уі

-0,11

-0,81

-1,05

-0,90

-0,23

-0,05



Варіант №6

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-0,50

-0,30

-0,20

0,10

0,40

0,80

Уі

2,30

1,20

1,05

0,90

1,20

2,10



Варіант №7

І

0

1

2

3

4

5

Хі

1,10

2,00

2,50

2,90

3,50

4,00

Уі

0,32

0,05

-0,10

-0,12

0,12

0,27



Варіант №8

І

0

1

2

3

4

5

Хі

0,30

0,50

0,80

0,90

1,20

1,40

Уі

1,10

0,60

0,40

0,38

0,65

0,90



Варіант №9

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-0,40

-0,10

0,10

0,20

0,50

0,70

Уі

1,30

3,50

4,20

4,00

2,80

1,60



^ Варіант №10

І

0

1

2

3

4

5

Хі

1,20

1,40

1,50

1,60

1,80

2,10

Уі

0,90

3,30

4,10

3,90

2,80

1,10



^ Варіант №11

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-0,90

-0,80

-0,50

-0,40

-0,20

-0,10

Уі

0,15

0,61

1,20

1,10

0,70

0,22



^ Варіант №12

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-1,00

-0,80

-0,70

-0,40

-0,30

-0,20

Уі

1,40

0,90

0,65

0,51

0,78

1,30



^ Варіант №13

І

0

1

2

3

4

5

Хі

0,20

0,30

0,50

0,70

0,90

1,20

Уі

-2,10

-0,50

1,15

1,30

-0,60

-2,70



^ Варіант №14

І

0

1

2

3

4

5

Хі

2,20

2,50

2,60

2,80

3,10

3,20

Уі

1,70

0,80

0,52

0,30

0,91

1,50



^ Варіант №15

І

0

1

2

3

4

5

Хі

-0,30

-0,10

0,20

0,30

0,70

0,90

Уі

-2,10

1,30

3,00

2,40

-2,30

-8,00



Вимоги до оформлення та захисту лабораторної роботи: Лабораторну роботу необхідно виконати в табличному редакторі Microsoft Office Excel 2003, зберегти у файлі під назвою Lr_6. Лабораторна робота зараховується у тому випадку, якщо студент успішно складе захист роботи: продемонструє правильно виконану роботу та відповість на запитання викладача.

Запитання:

  1. Дати означення табличної функції.

  2. Назвати різницю між табличною і таблично заданою функцією.

  3. Обґрунтувати метод найменших квадратів.

  4. Що називається середньоквадратичним відхиленням?

  5. Що називається відхиленням?

  6. Пояснити призначення відхилення і середньоквадратичного відхилення.




© 2009 Шебаніна Л.П., Воробйова А.В. Миколаївський державний університет ім. В.О.Сухомлинського

Похожие:

Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №1 Тема: Робота з одновимірними масивами
Масив призначений для збереження значень зросту 12 чоловік. За допомогою дачика випадкових чисел заповнити значеннями в діапазоні...
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №13 Тема : Інтернет. Служба www. Робота з інформацією державних порталів
Мета: Уміти переглядати web-сторінки, користуватись гіперпосиланнями, створювати закладки, вести журнал, шукати необхідну інформацію...
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота № з дисципліни " "

Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №1 тема лабораторної роботи

Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №23. Туристські ресурси Лівобережжя (Полтавська та Чернігівська області) (4 години) Мета
Лабораторна робота №23. Туристські ресурси Лівобережжя (Полтавська та Чернігівська області) (4 години)
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №24. Туристські ресурси Степової України (Донецька, Луганська, Дніпропетровська та Кіровоградська області) (4 години) Мета
Лабораторна робота №24. Туристські ресурси Степової України (Донецька, Луганська, Дніпропетровська та Кіровоградська області) (4...
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №4 об'ємне моделювання. Adem
Персональна еом у складі локальної обчислювальної мережі
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №12 Тема: Робота в комп’ютерній мережі Internet. Пошук, запис, перегляд і друкування матеріалів
Мета: Набути уміння та навички роботи в програмі Internet Explorer: пошук, запис, перегляд і друк матеріалів
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №5 типи обробки 1 Тема роботи
Персональна еом у складі локальної обчислювальної мережі
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №8 параметри контуру 1 Тема роботи
Персональна еом у складі локальної обчислювальної мережі
Лабораторна робота №6-7 iconЛабораторна робота №5 Пошуковий сервер
Український "російськомовний" каталог, що має стильний дизайн та дошку оголошень
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы