Лабораторная работа №7 Тема : «Системы счисления»

Название	Лабораторная работа №7 Тема : «Системы счисления»
Размер	50.18 Kb.
Тип	Лабораторная работа

Лабораторная работа №7

Тема: «Системы счисления»

Цель работы: Рассмотреть позиционные системы счисления, а также получить навыки по представлению числовых данных в различных системах счисления.

Порядок выполнения работы

Изучить общие понятия, лежащие в основе систем счисления: алфавит, основание.
Освоить правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, а также правила выполнения арифметических операций с двоичными числами.
Получить навыки представления чисел в машинных двоичных кодах.

Теоретическая часть

Под системой счисления понимается определенный способ записи числа с помощью некоторого алфавита символов a₁, a₂,…, a_n. При этом каждой цифре a_i в записи числа ставится в соответствие определенное количественное значение.

^ Системы счисления
Непозиционная	Каждый символ сохраняет свое количественное значение при изменении его положения в числе. Примером такой системы является римская система счисления.
Позиционная	Количественное значение каждой цифры (символа) зависит от ее местоположения в числе.

Количество цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (S).

Любое число A в позиционной системе счисления может быть представлено в виде суммы коэффициентов a_i из алфавита данной системы умноженных на степени основания S системы счисления:

A_S=a_na_n-1a_n-2…a₂a₁a₀,a_-1a_-2…a_-m=

=a_n*Sⁿ + a_n-1*S^n-1 + a_n-2*S^n-2 + …a₂*S² + a₁*S¹ + a₀*S⁰ +a_-1*S^-1 + a_-2*S^-2 + … + a_-m*S^-m.

Таблица 1

Алфавит основных систем счисления

Система счисления	Основание (S)	Цифры
Двоичная	2	0,1
Троичная	3	0, 1, 2
Четверичная	4	0, 1, 2, 3
Пятеричная	5	0, 1, 2, 3, 4
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В математике для записи числа используется десятичная система счисления (S=10), ее алфавит состоит из десяти арабских цифр 0, 1, 2,…, 9. Любое число в этой системе счисления можно представить следующим образом:

A₁₀=a_n*10ⁿ + a₁*10¹ + a₀*10⁰+a_-1*10^-1 … + a_-m*10^-m_.

Например, 32,19₁₀=3·10¹+2·10⁰+1·10^-1+9·10^-2.

В аппаратной основе вычислительной техники для физического представления чисел, предназначенных для обработки, используются двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в одном из устойчивых состояний. Одно из этих состояний обозначает цифру 0, а другое – цифру 1. Поэтому наибольшее распространение в ЭВМ получила двоичная система счисления, основание которой S=2. Ее алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Например, двоичное число

10011,01=1·2⁴+0·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=16+2+1+0,25=19,25₁₀

соответствует десятичному числу 19,25₁₀.

Таблица 2

Правила двоичного сложения, вычитания и умножения

сложение	вычитание	умножение
0+0=0	0-0=0	0·0=0
0+1=1	1-0=1	0·1=0
1+0=1	1-1=0	1·0=0
1+1=10	10-1=1	1·1=1

Для более компактной записи чисел обычно используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода из одной системы счисления в другую.

^ Правила перевода из одной позиционной системы в другую
1. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Q	осуществляется последовательным делением данного числа на основание Q, до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Число в новой системе (S=Q) будет представлено в виде остатков от деления, записанных начиная с последнего. Например, десятичное число 22₁₀ запишется в двоичной системе следующим образом Остаток 22:2 = 11 (0) 11:2 = 5 (1) 5:2 = 2 (1) 2:2 = 1 (0) 1:2 = 0 (1) 22₁₀=10110₂.
2. ^ Перевод правильной дроби из десятичной системы счисления в другую систему с основанием Q	осуществляется последовательным умножением ее на основание новой системы счисления. Целая часть полученного числа будет первой цифрой после запятой. Дробную же часть необходимо вновь умножить на Q. Целая часть полученного числа будет следующей цифрой и т. д.
3. Для перевода неправильных дробей в новую систему счисления	необходимо, с помощью рассмотренных выше правил 1 и 2, отдельно выполнить перевод целой и дробной части.
4. ^ Перевод чисел в десятичную систему счисления	осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы счисления, из которой это число переводится.

В восьмеричной системе счисления (S=8) используется восемь цифр 0,1,…,7. Например, переведем число из восьмеричной системы счисления 237,4₈ в десятеричную систему счисления

237,4₈=2·8² + 3·8¹ + 7·8⁰ + 4·8^-1 = 128+24+7+0,5=159,5₁₀.

Переведем число из десятичной системы счисления 75,59₁₀ в восьмеричную систему счисления

Остаток

7

5:8 = 9 (3)

9:8 = 1 (1)

1:8 = 0 (1)

0,59·8 = 4,72;

0,72·8 = 5,76;

0,76·8 = 6,08, …

Таким образом, 75,59₁₀ = 113,456₈

В шестнадцатеричной системе счисления алфавит состоит из 16 цифр, где первые десять символов обозначаются цифрами от 0 до 9, а далее используются буквенные обозначения: 10 – A, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F. Предложенный алфавит позволяет записать все десятичные цифры от 0 до 15, остальные цифры представляются следующим образом:

Остаток Остаток Остаток

16:16 = 1 (0) 17:16 = 1 (1) 18:16 = 1 (2)

1:16 = 0 (1) 1:16 = 1 (1) 1:16 = 0 (1)

16₁₀=10₁₆ = 1·16¹+0·16⁰; 17₁₀=11₁₆ = 1·16¹+1·16⁰; 18₁₀=12₁₆ = 1·16¹+2·16⁰.

Существует также способ взаимного перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, благодаря использованию таблицы соответствия чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления (Табл.3).

Таблица 3

Соответствие чисел в двоичной, восьмеричной и

шестнадцатеричной системах счисления

Двоичная (S=2)	Восьмеричная (S=8)		Шестнадцатеричная (S=16)
Двоичная (S=2)		триады		тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Например, переведем число 162,37₈ из восьмеричной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления

162,37₈ = 001 110 010, 011 111 ₂,

1 6 2 3 7

0111 0010, 0111 1100 ₂ = 72,7C₁₆

7 2 7 C

Получаем, 162,37₈ = 1110010,011111₂ = 72,7C₁₆

Для выполнения арифметических операций над числами в ЭВМ используют специальные машинные коды: прямой, обратный и дополнительный. Применение машинных кодов сводит операцию вычитания к алгебраическому суммированию кодов этих чисел, упрощается определение знака результата операции.

В данных машинных кодах перед старшим цифровым разрядом располагается знаковый разряд, в котором записывается нуль для положительного числа и единица для отрицательного числа. В дальнейшем при написании машинных кодов будем отделять знаковый разряд от цифровых разрядов точкой.

^ Прямой код двоичного числа содержит цифровые разряды, перед которыми записан знаковый разряд. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ.

Например, для двоичных чисел x = +1010₂ и y = -1101₂ их прямые коды будут иметь следующий вид:

x_п_р = 0.1010₂ и y_пр = 1.1101₂.

^ Обратный код положительного числа полностью совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа он содержит единицу в знаковом разряде, а значащие цифровые разряды числа заменяются на инверсные, то есть единицы заменяются нулями, а нули – единицами.

Таким образом, для приведенного выше примера имеем:

x_обр = x_пр = 0.1010₂ и y_обр = 1.0010₂.

^ Дополнительный код положительного числа полностью совпадает с прямым кодом, а следовательно и с обратным. Для отрицательного числа он образуется из обратного путем прибавления к нему единицы к младшему цифровому разряду.

Следовательно, получаем:

x_доп = x_обр = x_пр = 0.1010₂ и y_доп = 1.0011₂.

^

Практическая работа

Задание 1. Переведите число из указанной системы счисления (см. вариант) в десятичную систему счисления.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	242,3₈	2.	A2F,C₁₆
3.	161,2₈	4.	12B,8₁₆
5.	146,2₈	6.	22C,8₁₆
7.	103,24₈	8.	172,2₈
9.	11D,4₁₆	10.	12F,8₁₆
11.	214,4₈	12.	22D,3₁₆

Задание 2. Переведите число (см. вариант) из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления с точностью 3 знака после запятой.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	51,76₁₀	2.	57,49₁₀
3.	39,54₁₀	4.	64,5₁₀
5.	56,42₁₀	6.	61,29₁₀
7.	47,29₁₀	8.	54,61₁₀
9.	45,31₁₀	10.	65,52₁₀
11.	36,74₁₀	12.	66,36₁₀

Задание 3. Переведите число (см. вариант) из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления с точностью 4 знака после запятой.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	82,2₁₀	2.	71,6₁₀
3.	84,9₁₀	4.	52,15₁₀
5.	73,8₁₀	6.	73,4₁₀
7.	67,2₁₀	8.	91,3₁₀
9.	80,4₁₀	10.	86,5₁₀
11.	69,53	12.	77,77

Задание 4. Выполните указанные действия над двоичными числами:

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	11001₂ + 1001₂; 1011₂ * 101₂.	2.	10001₂ + 111₂; 1010₂ * 11₂.
3.	110010₂ + 1101₂; 101₂ * 101₂.	4.	10101₂ + 1011₂; 100₂ * 11₂.
5.	101011₂ + 1001₂; 1011₂ * 11₂.	6.	10001₂ + 10101₂; 111₂ * 101₂.
7.	11010₂ + 1011₂; 1000₂ * 11₂.	8.	1001₂ + 1001₂; 1001₂ * 1001₂.
9.	10001₂ + 1011₂; 100₂ * 101₂.	10.	10001₂ + 111₂; 10101₂ * 11₂.
11.	110110₂ + 1011₂; 101₂ * 111₂.	12.	11101₂ + 1011₂; 101₂ * 11₂.

Задание 5. Переведите число из указанной системы счисления (см. вариант) в двоичную и восьмеричную(шестнадцатеричную) системы счисления. (Примечание. Использовать Табл.3)

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	2AC,3B₁₆	2.	426,35₈
3.	9A1,F2₁₆	4.	173,46₈
5.	42A,18₁₆	6.	532,41₈
7.	8E1,A₁₆	8.	D2,A₁₆
9.	412,73₈	10.	317,12₈
11.	5A,19₁₆	12.	D3,С₁₆

Задание 6.

Варианты	Задание
1.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 1000000₂, 62₈, 39₁₆, 52₁₀.
2.	Расположите числа в порядке возрастания: 110010₂, 73₈, 40₁₆, 61₁₀.
3.	Выберите число, которое является максимальным среди следующих чисел: 100001₂, 52₈, 42₁₆, 63₁₀.
4.	Расположите числа в порядке убывания: 101001₂, 43₈, 36₁₆, 52₁₀.
5.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 100110₂, 23₈, 23₁₆, 23₁₀.
6.	Расположите числа в порядке убывания: 110111₂, 76₈, 3A₁₆, 54₁₀.
7.	Выберите число, которое является максимальным среди следующих чисел: 11001₂, 24₈, 24₁₆, 24₁₀.
8.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 11001₂, 23₈, 23₁₆, 23₁₀.
9.	Расположите числа в порядке убывания: 110010₂, 73₈, 2B₁₆, 74₁₀.
10.	Расположите числа в порядке возрастания: 100010₂, 32₈, 32₁₆, 32₁₀.
11.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 11111₂, 35₈, 35₁₆, 23₁₀.
12.	Расположите числа в порядке возрастания: 110010₂, 73₈, 2B₁₆, 74₁₀

Задание 7. Если обратный код целого числа X имеет указанный вид (см. вариант), то чему будет равно его значение в десятичной системе счисления.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	11100001₂	2.	11000110₂
3.	00000101₂	4.	11110110₂
5.	11110001₂	6.	11111001₂
7.	11101101₂	8.	11110101₂
9.	11110011₂	10.	00001101₂
11.	10110001₂	12.	11110101₂

Задание 8. Какой вид имеет дополнительный двоичный код указанного числа (см. вариант) в однобайтовом формате.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	-5₁₀	2.	2₁₀
3.	-4₁₀	4.	3₁₀
5.	-2₁₀	6.	7₁₀
7.	10₁₀	8.	9₁₀
9.	13₁₀	10.	-8₁₀
11.	-6₁₀	12.	-7₁₀

Задание 9. Найдите основание системы счисления, если

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	14₁₀ = 16_X	2.	10₁₀ = 12_X
3.	5₁₀ = 12_X	4.	17₁₀ = 11_X
5.	4₁₀ = 11_X	6.	3₁₀ = 11_X
7.	21₁₀ = 15_X	8.	24₁₀ = 30_X
9.	22₁₀ = 26_X	10.	2₁₀ = 10_X
11.	5₁₀ = 12_X	12.	5₁₀ = 11_X

Задание 10. Установите соответствие между указанным выражением (см. вариант) и выражением в дополнительном двоичном коде.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	(-3₁₀ + 10₁₀ =)	2.	(9₁₀ - 3₁₀ =)
3.	(-10₁₀ - 1₁₀ =)	4.	(-8₁₀ - 4₁₀ =)
5.	(-12₁₀ + 2₁₀ =)	6.	(14₁₀ - 5₁₀ =)
7.	(-12₁₀ + 4₁₀ =)	8.	(-13₁₀ - 3₁₀ =)
9.	(-10₁₀ - 5₁₀ =)	10.	(14₁₀ - 7₁₀ =)
11.	(-10₁₀ - 2₁₀ =)	12.	(14₁₀ - 3₁₀ =)

Контрольные вопросы

Что понимают под системой счисления?
В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?
Что понимают под алфавитом системы счисления?
Что принято считать основанием системы счисления?
Какие системы счисления используются в информатике?
Каковы правила перевода чисел из одной системы счисления в другую?
Каковы правила выполнения арифметических операций с двоичными числами?
Охарактеризуйте машинные двоичные коды: прямой, обратный и дополнительный?

Приложение
^

Пример выполнения работы

Задание 1. Переведите число 253,4₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.

Решение:

253,4₈ = 2∙8² + 5∙8¹ + 3∙8⁰ + 4∙8^-1 = 128+40+3+0,5 = 171,5₁₀.

Ответ: 253,4₈ = 171,5₁₀.

Задание 2. Переведите число 48,67₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления с точностью 3 знака после запятой.

Решение:

Остаток

4

8:2 = 24 (0)

24:2 = 12 (0)

12:2 = 6 (0)

6:2 = 3 (0)

3:2 = 1 (1)

1:2 = 0 (1)

Тогда 48₁₀=110000₂.

0,67·2 = 1,34;

0,34·2 = 0,68;

0,68·2 = 1,36, …

Таким образом, 0,67₁₀ = 0,101…₂.

Ответ: 48,67₁₀ = 110000,101…₂.

Задание 3. Переведите число 62,7₁₀ из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления с точностью 4 знака после запятой.

Решение:

Остаток

62:16 = 3 (14)

3:16 = 0 (3)

Тогда 62₁₀=3E₁₆.

0,7·16 = 11,2;

0,2·16 = 3,2;

0,2·16 = 3,2,

0,2·16 = 3,2,…

Таким образом, 0,7₁₀ = 0,B333…₁₆.

Ответ: 62,7₁₀ = 3E,B333…₁₆.

Задание 4. Выполните указанные действия над двоичными числами:

11001₂ + 101₂;
1011₂ * 11₂.

Решение:

11001 1011

⁺ 101 ^* 11

11110 1011

⁺ 1011

100001

Ответ: a) 11110₂; b) 100001₂.

Задание 5. Переведите число 2FC,3A₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и восьмеричную системы счисления. (Примечание. Использовать Табл.3)

^ Решение:

2FC,3A₁₆ = 0010 1111 1100, 0011 1010 ₂,

2 F C 3 A

001 011 111 100, 001 110 100 ₂ = 1374,164₈

1 3 7 4 1 6 4

Ответ: 2FC,3A₁₆ = 1011111100,00111010₂ = 1374,164₈.

Задание 6. Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 111001₂, 64₈, 38₁₆, 59₁₀.

Решение:

111001₂ = 57₁₀

64₈ = 52₁₀,

38₁₆ = 56₁₀,

Ответ: 64₈.

Задание 7. Если обратный код целого числа x имеет вид 11100101₂, то чему будет равно его значение в десятичной системе счисления.

Решение: x_обр = 1 1100101₂, x_пр = 1 0011010₂,

x = -0011010₂=-(1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰)=-26.

Ответ: -26.

Задание 8. Какой вид имеет дополнительный двоичный код числа 5₁₀ в однобайтовом формате.

Решение:

Остаток

5

:2 = 2 (1)

2:2 = 1 (0)

1:2 = 0 (1)

Тогда 5₁₀=101₂. Известно, что 1байт = 8бит. Первая цифра указывает на знак числа, а следующие семь цифр указывают на количественное значение числа. Поэтому дописываем 4 нуля перед 101 и еще один нуль записываем самым первым, он указывает на то, что число положительное.

^ Ответ: 00000101₂.

Задание 9. Найдите основание системы счисления, если 20₁₀ = 14_X.

Решение:

Предположим, X=8, тогда

Остаток

2

0:8 = 2 (4)

2:8 = 0 (2)

Следовательно, 20₁₀ = 24_X, не подходит.

Предположим, X=16, тогда

Остаток

2

0:16 = 1 (4)

1:16 = 0 (1) Получаем, 20₁₀ = 14₁₆.

Ответ: X=16.

Задание 10. Установите соответствие между выражением: (-11₁₀ + 3₁₀ =) и выражением в дополнительном двоичном коде.

Решение:

Введем следующие обозначения:

x = -11₁₀ = -1011₂ и y = +3₁₀ = +11₂ = +0011₂.

В прямых кодах эти числа имеют вид:

x_пр = 1.1011₂ и y_пр = 0.0011₂.

В обратных кодах: x_обр = 1.0100₂ и y_обр = y_пр = 0.0011₂.

В дополнительных кодах:

x_доп = 1.0101₂ и y_доп = y_обр = y_пр = 0.0011₂.

Ответ: 1.0101₂ + 0.0011₂.

	Лабораторная работа №7 Тема : «Системы счисления» Цель работы: Рассмотреть позиционные системы счисления, а также получить навыки по представлению числовых данных в различных системах...		Тема : Кодирование чисел. Системы счисления Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно
	Тема : Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится...		Тема : Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится...
	Тема : Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера		Лабораторная работа №29 Тема: Зачетная работа по теме: «Учет с подотчетными лицами»
	Лабораторная работа №6-1 Тема: Работа над созданием презентации программы Microsoft Power Point Распечатываю рамку стандартного образца где вместо названия документа впечатываю Ф. И. О		Лабораторная работа №1 Тема : «Отладчик debug» Краткая аннотация: данная работа посвящена знакомству с отладчиком debug, который позволяет
	Лабораторная работа №1 «Разработка описания и анализ информационной системы» Описать и проанализировать информационную систему, распределить роли в группе разработчиков		Лабораторная работа №27 Тема: Зачетная работа по учету с расчетов с разными дебиторами и кредиторами Цель занятия: Закрепить учет расчетов с разными дебиторами и кредиторами в программе «1С: Бухгалтерия предприятия»
	Тема : Двоичная система счисления

Лабораторная работа №7 Тема : «Системы счисления»