Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. icon

Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения.


Скачать 110.64 Kb.
НазваниеЛекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения.
страница1/4
Размер110.64 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Лекция 13.

Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Односторонние пределы. Предел числовой последовательности.


Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.


Операции с множествами.


  1. Включение множества А в множество ^ В . При этом каждый элемент множества А является элементом множества В, и множество А называется подмножеством множества В. В частности, А=В, если все элементы множества А принадлежат множеству В и наоборот.

  2. Объединение множеств А и В - множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.

  3. Пересечение множеств А и В - множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В.

  4. Разность множеств А и В (А\В) – множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.


Определение 13.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.


Определение 13.2. Пусть заданы непустые множества Х и Y. Соответствие, при котором каждому элементу множества Х соответствует некоторый элемент множества Y, называется отображением Х на Y.


Множество действительных чисел.


Из элементарной математики известно, что совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R. На нем определены операции:

  1. Сложение: для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число a+b, называемое их суммой, причем выполняются следующие условия:

а) a+b=b+a

b) a+(b+c)=(a+b)+c

c) существует число 0 такое, что а+0для любого аR

d) противоположное число –а, для которого а+(-а)=0.

  1. Умножение: определено единственное число ab, называемое их произведением, такое, что выполняются следующие условия:

а) ab=ba

b) a(bc)=(ab)c

c) существует число 1 такое, что а·1=а

d) a0 существует обратное число 1/а, для которого а· 1/а = 1.

Связь сложения и умножения: (a + b)c = ac + bc.


Множество действительных чисел обладает следующими свойствами:

  1. Упорядоченность - либо a < b, либо a > b. При этом

а) если a < b и b < c, то a < c.

b) если a < b, то с a + c < b + c.

c) если a < b и с > 0, то ac < bc.

  1. Непрерывность – для любых непустых множеств Х и Y таких, что и


Подмножества множества R называют числовыми множествами.

Примеры числовых множеств:

  1. Множество натуральных чисел N (1,2,3,…).

  2. Множество целых чисел Z (

  3. Множество рациональных чисел Q (числа вида m/n, где m и n – целые).


Функция.


Определение 13.3. Если каждому элементу х множества Х (называемого областью определения функции) по определенному закону ставится в соответствие единственный элемент у множества Y, то подобное отображение называется функцией, определенной на множестве Х со значениями в множестве Y. При этом х называется независимой переменной, или аргументом, а у = f(x) – зависимой переменной, или функцией.


Замечание. Мы будем рассматривать только однозначные функции (в отличие от многозначных функций, для которых одному значению х может соответствовать более одного значения у).


Способы задания функции:

  1. табличный

  2. графический

  3. аналитический.


Определение 13.4. Если у=F(u) является функцией от u, a u=φ(x) – функцией от х, то

у = F[φ(x)]

называется сложной функцией или функцией от функции.

Основные элементарные функции.

    1. Степенная функция у = хα,

    2. Показательная функция у = ах, a > 0, a1.

    3. Логарифмическая функция y=logax, a > 0, a1.

    4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

    5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.


Определение 13.5. Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.


Определение 13.6. Если для функции у = f(х) можно определить функцию х = g(у), ставящую в соответствие каждому значению функции у = f(x) значение ее аргумента х, то функция у = g(x) называется обратной функцией к у = f(x) и обозначается y = f –1(x).


Пределы функций.


Определим понятие окрестности точки х0 как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x0| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х0 может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.


Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0, если такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ.

Обозначение: .


Замечание. Для существования предела функции в точке х0 не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.


Примеры.

  1. Докажем, что Если |2x+1-7| < ε, то |2x - 6| < ε, |x - 3| < ε/2. Таким образом, если принять δ(ε) = ε/2, то выполнены все условия определения предела. Утверждение доказано.

  2. Заметим, что в проколотой окрестности х=2 поэтому мы имеем право сократить дробь на (х - 2).


Определение 13.8. Функция у = f(x) имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х0 (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если такое, что |f(x)| > M при |x - x0| < δ.

Обозначение:


Определение 13.9. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если при x > X (), при x < -X (), при |x| > X (


Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 13.8.

Определение 13.10. Функция у = f(x) называется ограниченной в некоторой области значений х, если существует число М>0 такое, что |f(x)| для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.


Свойства пределов.


1. Если существует (^ А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х0.

Доказательство. Так как для любого ε существует такое δ, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ, то при этом |f(x)| < |A| + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2. Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство. Пусть А и В – пределы f(x) при х→х0. Выберем ε < |A-B|. Тогда существует такое δ1, что |f(x)-A|<ε/2 при |x - x0| < δ1, и такое δ2, что |f(x)-B|<ε/2 при |x - x0| < δ2. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ1 и δ2, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х0, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.

  1. Если и ^ А, то существует окрестность точки х0, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак ( f(x)>0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).

Доказательство. Достаточно выбрать ε=|A|/2. Тогда для х из некоторой окрестности х0 |f(x)-A| < |A|/2, то есть А/2 <f(x) <3A/2 при A > 0 и 3A/2 < f(x) < A/2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.


Односторонние пределы.


Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа), если такое, что |f(x)-A|<ε при x0 – х < δ (х - х0 < δ).

Обозначения:


Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

1) Если , то и для x0 – х < δ, и для х - х0 < δ |f(x) - A|<ε, то есть

  1. Если , то существует δ1: |f(x) - A| < ε при x0 – x < δ1 и δ2: |f(x) - A| < ε при х - х0 < δ2. Выбрав из чисел δ1 и δ2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана.

Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.


Предел числовой последовательности.


Числовую последовательность {an} можно считать функцией дискретного аргумента n и применить к ней определение 13.9:

Определение 13.12. Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если при n > N.


Лекция 14.

Бесконечно малые функции и их свойства. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Натуральный логарифм и гиперболические функции.


Определение 14.1. Функция у=α(х) называется бесконечно малой при х→х0, если

Свойства бесконечно малых.


  1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х0, то существуют δ1 и δ2 такие, что |α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно,, то есть α(х)+β(х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

  1. Если α(х) – бесконечно малая при х→х0, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х0, то α(х)f(x) – бесконечно малая при х→х0.

Доказательство. Выберем число М такое, что |f(x)| при |x-x0|<δ1, и найдем такое δ2, что |α(x)|<ε/M при |x-x0|<δ2. Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ1 и δ2, |α(x)·f(x)|, то есть α(х)·f(x) – бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

  1. ( Третье определение предела). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+α(x), где α(х) – бесконечно малая при х→х0.

Доказательство.

    1. Пусть Тогда |f(x)-A|<ε при х→х0, то есть α(х)=f(x)-A – бесконечно малая при х→х0. Следовательно, f(x)=A+α(x).

    2. Пусть f(x)=A+α(x). Тогда значит, |f(x)-A|<ε при |x - x0| < δ(ε). Cледовательно, .

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.


Основные теоремы о пределах.

Теорема 14.1. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Используя третье определение предела, представим f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х0. Тогда f(x)+g(x)=A+B+(α(x)+β(x))=A+B+γ(x), где γ(х)=α(х)+β(х) – бесконечно малая. Следовательно,


Теорема 14.2. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Представим f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х0. Тогда f(xg(x)=AB+(x)+(x)+α(x)β(x). Но (x)+(x)+α(x)β(x) – бесконечно малая (так как f(x) и g(x) ограничены в окрестности х0), следовательно,
  1   2   3   4

Похожие:

Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconЛекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения.
Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции....
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconЭкз билеты, гр. 103, 104 (д/о). Декабрь 2012
Понятие множества. Способы задания множеств. Свойства включения множеств. Универсальное множество. Пустое множество. Равенство и...
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconЗачет по общему курсу математики в 10 классе
Множество. Способы задания множеств. Подмножество множества. Мощность множества. Привести примеры
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconПусть заданы непустых множества: D-упор. пар(х;у) и Е- чисел z. Закон f, по которому к каждой паре (х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается E=f(x;y). х;у-называется независимой переменной( аргумент), z-называется зависимая переменная (
Закон f, по которому к каждой паре (Х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается...
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconНайти область определения функции и изобразить её на плоскости
Область определения функции – это множество вертикальных полос в верхней полуплоскости, ширина которых равна. Границы полос в область...
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconЭкзаменационные вопросы по курсу «векторный и тензорный анализ»
Основная лемма о жордановой мере образа измеримого множества для гладкого отображения
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. icon1. - мерное векторное пространство. Пусть векторы принадлежат множеству . Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая знаком , и операция умножения элементов множества на действительные числа , обозначаемая символом , удовлетвор
Пусть векторы принадлежат множеству. Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая...
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. icon1 Теория Декодер, схема целочисленного умножения 2 Задачи Вычитание и сложение чисел и декампаратор на 1533
Задачи реализовать генератор чисел, операции сложения и вычитания в прямом коде чисел с фиксированной запятой
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconЛекции №1 и основные определения
Темы: Теория поведения потребителя: бюджетное ограничение и бюджетное множество; предпочтения потребителя; функция полезности
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconКонтрольная работа Тема: «Одномерные массивы»
Массив d состоит из действительных чисел от 1 до 9 с шагом Определите формулу для заполнения массива
Лекция 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. iconN = InputBox(" ââåäèòå çíà÷åíèå ýëåìíòîâ èñõîäíîãî ìàññèâà")
Дана последовательность действительных чисел a1  a2,   аn. Вставить действительное число b в нее так, чтобы последовательность...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы