Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений icon

Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений


Скачать 69.23 Kb.
НазваниеМетодические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений
Размер69.23 Kb.
ТипМетодические указания
327332c3.gif" NAME="Группа 1" ALT="Группа 1" ALIGN=LEFT HSPACE=12>


УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________А.В. Лагерев

“____”___________ 2012 г.


АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ


Методические указания к изучению дисциплины

для студентов заочной формы обучения направлений

230100.62 «Информатика и вычислительная техника»

и 230400.62 «Информационные системы и технологии»

(2 семестр)


Брянск 2012

УДК 516.1/4

Алгебра и геометрия [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» и 230400.62 «Информационные системы и технологии» (2 семестр). − Брянск: БГТУ, 2012. − 22 с.


Разработал: А. П. Мысютин, к. т. н., доц.


Рекомендовано кафедрой “Высшая математика” БГТУ

(протокол №9 от 31.05.2012)


ПРЕДИСЛОВИЕ

Студенты первого курса заочной формы обучения направлений бакалаврской подготовки «Информатика и вычислительная техника» и «Информационные системы и технологии» во втором семестре должны выполнить две контрольные работы. Обе контрольные работы посвящены изучению аналитической геометрии. В первой работе представлены задания только по аналитической геометрии на плоскости, а во второй − по аналитической геометрии в пространстве.

Для выполнения первой работы требуется знание таких разделов теории, как прямая на плоскости, канонические уравнения линий второго порядка, преобразование систем координат на плоскости, приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду, полярная система координат и построение графиков функций в этой системе.

Вторая контрольная работа состоит из двух задач, но первую задачу можно рассматривать как комплексное расчетное задание по темам прямая линия в пространстве, плоскость, взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Во второй задаче предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

В параграфах 1 и 3 приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения задач контрольных работ. Сложные задачи (№4 из контрольной работы №1 и №2 из контрольной работы №2) рассмотрены подробно как в теоретическом, так и в практическом аспектах. В пособии подробно разобраны три примера решения типовых задач.

Более полную информацию по изучаемым во втором семестре разделам курса алгебры и геометрии можно получить в следующих учебных пособиях:

  1. Ефимов, Н.Е. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. – М.: Крокус, 2006. – 352 с.

  2. Привалов, И.И. Аналитическая геометрия / И.И. Привалов. – СПб.: Лань, 2003. – 299 с.

  3. Бугров, Я.С. Высшая математика. В 3-х т. Т. 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2008. – 284 с.

  4. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д.Е. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2011. − 608 с.

  5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – М.: Оникс, 2008. – 816 с.

  6. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /Д.В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2005. – 304 с.



1.Теоретический материал, необходимый для выполнения

контрольной работы №1


Задания 1,2

^

• Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку в заданном направлении:


y = y0 +k(x  x0).

Здесь k  тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох (угловой коэффициент), 00)  координаты точки, через которую проходит прямая.

• Уравнение прямой линии, проходящей через две данные точки А(х11) и В(х22):




• Расстояние d от точки (х00) до прямой Ах+Ву+С=0:



• Условие параллельности для прямых у=k1x+b1 и у=k2x+b2: k1 = k2.

• Условие параллельности для прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0:



• Условие перпендикулярности для прямых у=k1x+b1 и у=k2x+b2: k1 k2=1.

• Условие перпендикулярности для прямых А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0:



• Угол между прямыми. Острый угол α между прямыми у=k1x+b1 и у=k2x+b2 определяется по формуле

.

• Деление отрезка пополам. Координаты середины отрезка А1А2 равны полусуммам соответственных координат его концов:




Задание 3


Окружность. Уравнение окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом, равным R:



Эллипс. Каноническое уравнение



Координаты фокусов: (-с;0) и (с;0), где с=

Эксцентриситет:

Уравнения директрис:


Гипербола. Каноническое уравнение

Координаты фокусов: (-с;0) и (с;0), где с=

Уравнения асимптот:

Эксцентриситет:

Уравнения директрис:

Парабола. Каноническое уравнение

Координаты фокуса: (,0).

Уравнение директрисы:


Задание 4


Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Координаты (х; у) в данной системе преобразуются к координатам (Х, Y) в новой системе по формулам:

при параллельном сдвиге осей и переносе начала координат в точку О10, у0)

х=x0+X, y=y0+Y;

при повороте осей на угол 

x=XcosYsin, y=Xsin+ Ycos.

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени относительно х и у:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0. (1)

Допустим, что B≠0. В этом случае уравнение (1) преобразуется к простейшему виду путем поворота и параллельного переноса координатных осей.

Используя формулы поворота осей

x=XcosYsin, y=Xsin+ Ycos,

выразим старые координаты через новые:

А(XcosYsin)2+2B(XcosYsin)( Xsin+ Ycos)+C(Xsin+ Ycos)2+

+2D(XcosYsin)+2E(Xsin+ Ycos)+F=0

или

(A∙cos2α+2Bsincos+Csin2)∙X2+2((C−A)sincos+B(cos2− sin2))∙X∙Y+ +(A∙sin2α−2Bsincos+Ccos2)∙Y2+

+2(Dcos+Esin)∙X+2(−Dsin+Ecos)+ F=0.

Выберем угол α так, чтобы коэффициент при X∙Y обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство

2(C−A)sincos+2B(cos2− sin2)=0,

т.е.

B∙tg2α−(C−A) ∙tgα−B=0.

Отсюда

tgα = (2)

Заметим, что эти значения tgα соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяв

tgα =

вместо

tgα =

мы только меняем ролями оси X и Y.

Получив tgα, воспользуемся известными из тригонометрии формулами

и

для определения новых коэффициентов

А1= A∙cos2α+2Bsincos+Csin2,

С1= A∙sin2α−2Bsincos+Ccos2,

D1= Dcos+Esin

и

Е1=−Dsin+Ecos.

В результате преобразованное уравнение линии примет вид:

A1X2+C1Y2+2D1X+2E1Y+F=0, (3)

где все коэффициенты известны.

Если в уравнении вида (3) линии второго порядка А1∙С1>0, то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа; если же А1∙С1<0, то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, наконец, если один из коэффициентов А1 или С1 равен нулю, т.е. А1∙С1=0, то уравнение определяет линию параболического типа.

Рассмотрим два случая: 1) А1∙С1 ≠ 0; 2) А1∙С1 = 0.

Случай 1. Сделаем параллельный перенос по формулам X=x0+x', Y=y0+y'. Получим

A1(x0+x')2+C1(y0+y')2+2D1(x0+x')+2E1(y0+y')+F=0

или

A1x'2+C1y'2+2(A1x0+D1)x'+2(C1y0+E1)y'+(A1x02+C1y02+2D1x0+2E1y0+F)=0.

Приравняв к нулю коэффициенты при x' и y', получим




Точка O'(x0, y0) является началом новой системы координат O'x'y'. Уравнение кривой в этой системе

A1x'2+C1y'2+F1=0.

Случай 2. Пусть С1=0 (для случая А1=0 вычисления те же, только x' и y' меняются местами). Уравнение кривой имеет вид

A1X2+2D1X+2E1Y+F=0. (4)

Если Е1 ≠ 0, то уравнение (4) можно разрешить относительно Y:



Имеем параболу. Сделаем параллельный перенос по формулам X=x0+x', Y=y0+y',

где



Точка O'(x0, y0) является началом новой системы координат O'x'y'. Уравнение кривой в этой системе



При Е1 = 0 уравнение (3) представляет при D12−A1F1>0 пару параллельных прямых, при D12−A1F1<0 − пару мнимых параллельных прямых, при D12−A1F1=0 − две слипшиеся прямые.

Пример 1. Преобразовать к каноническому виду уравнение и построить кривую

2−4ху+3у2+4х+4у−1=0.

Решение. По условию задачи А=3, В=−2, С=3, D=2, Е=2, F=−1. По формуле (2) имеем tgα=±1. Возьмем α=π/4. После вычисления коэффициентов получим

X2+5Y2+4√2∙X–1=0.

Сделаем теперь параллельный перенос по формулам X=x0+x', Y=y0+y'. Уравнение примет вид:

x'2+5y'2+(2x0+4√2)x'+10y0y'+(x02+5y02+4√2∙x0−1)=0.

Приравняв к нулю коэффициенты при x' и y', получим x0=−2√2, y0=0. Точка O'(−2√2, 0) является началом новой системы координат O'x'y'. Уравнение кривой в этой системе имеет вид

x'2+5y'2−9=0

или



Это − эллипс с полуосями а=3 и b=3/√5.

Сделаем рисунок. Строим систему координат Оху. Находим в этой системе координаты точки О' по формулам поворота осей



Проводим через точку О' ось х' новой (канонической) системы координат под углом α=π/4 к оси Ох. Направление оси О'у' находим путем поворота оси О'х' на угол 90о против хода часовой стрелки.

Определяем координаты точек пересечения (если они есть) эллипса с координатными осями исходной системы Оху. Абсциссы точек пересечения с осью Ох (у=0) определяются из уравнения

2+4х−1=0.

Отсюда



Ординаты точек пересечения с осью Оу (х=0) определяются из уравнения:

2+4у−1=0.

Аналогично



Итак, эллипс пересекает оси старой системы координат в точках (−1.5;0), (0.2;0), (0;−1.5), (0;0.2).

На осях канонической системы откладываем полуоси эллипса и через восемь точек проводим искомую кривую.


Пример 2. Преобразовать к каноническому виду уравнение и построить кривую

3x2−2√3∙xy+y2+6x+2√3∙y−4=0.

Решение. По условию задачи А=3, В=−√3, С=1, D=3, Е=√3, F=−4. По формуле (2) имеем tgα=√3 и tgα=−√3/3 . Возьмем α=π/3. После вычисления коэффициентов получим

4Y2+6X−2√3∙Y−4=0.

Поскольку Е1 ≠ 0, то это уравнение можно разрешить относительно Х:

X=

Имеем параболу. Сделаем параллельный перенос по формулам X=x0+x', Y=y0+y',

где



Точка O'(x0, y0) является началом новой системы координат O'x'y'. Уравнение кривой в этой системе



Сделаем рисунок. Строим систему координат Оху. Находим в этой системе координаты точки О' по формулам поворота осей



Проводим через точку О' ось х' новой (канонической) системы координат под углом α=π/3 к оси Ох. Направление оси О'у' находим путем поворота оси О'х' на угол 90о против хода часовой стрелки.

Определяем координаты точек пересечения (если они есть) параболы с координатными осями исходной системы Оху. Абсциссы точек пересечения с осью Ох (у=0) определяются из уравнения:

3x2 +6x −4=0.

Отсюда



Ординаты точек пересечения с осью Оу (х=0) определяются из уравнения:

y2+2√3∙y−4=0.

Аналогично



Итак, парабола пересекает оси старой системы координат в точках (−2,5;0), (0,5;0), (0;−4,4), (0;0,9).

Через начало канонической системы и точки пересечения проводим искомую кривую.


Задание 5


Построение графика функции

r = f(φ)

осуществляют так: а) строят для функции r = f(φ) соответствующую функцию у=f(х); б) исследуют функцию r = f(φ), сравнивая ее с соответствующей функцией у=f(х), учитывая особенности полярной системы координат; в) выполняют построение графика функции r = f(φ) по графику функции у=f(х).


^ 2.Задания по контрольной работе №1


Задание 1


Даны точки А, В и угол α. Требуется:

  1. написать уравнение прямой, проходящей через точку В и составляющей угол α с положительным направлением оси Ох (прямая I);

  2. написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В (прямая II);

  3. найти расстояние от начала координат до прямой II;

  4. найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую I;

  5. найти координаты точки А1, симметричной точке А относительно прямой I.




№ варианта

Координаты точки А

Координаты точки В

Угол α

1

(-3,3)

(1,-4)

arctg(3/2)

2

(8,1)

(6,-5)

arctg(-2)

3

(-9,1)

(-1,-5)

arctg(3)

4

(-3,-2)

(4,2)

arctg(-2/3)

5

(-6,7)

(4,5)

arctg(2/3)

6

(-1,-8)

(-5,0)

arctg(-1/3)

7

(6,7)

(-2,6)

arctg(-3/2)

8

(-4,10)

(-2,4)

arctg(2)

9

(-4,-2)

(3,7)

arctg(1/3)

10

(10,2)

(3,1)

arctg(4/3)


Задание 2


Составить уравнения сторон квадрата, если известно, что одной из диагоналей

квадрата является отрезок прямой Ах+Ву+С=0, концы которого лежат на осях координат.


№ варианта

А

В

С

1

2

–5

10

2

–4

3

12

3

7

3

–21

4

5

4

–20

5

–3

2

6

6

6

–3

18

7

2

7

14

8

8

5

40

9

3

–5

15

10

4

–7

–28



Задание 3


  1. Дан эллипс 16х2+25у2=400. Найти длины его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

  2. Дан эллипс 5х2+49у2=245. Найти те его точки, которые отстоят на расстоянии двух единиц длины от его малой оси.

  3. Составить простейшее уравнение гиперболы, если гипербола проходит через точки (2,√3) и (√2,-1).

  4. Составить простейшее уравнение гиперболы, если асимптоты ее даны уравнениями у=±2х/3 и гипербола проходит через точку (5,2).

  5. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы у2=8х и перпендикулярной с ее оси симметрии.

  6. Парабола у2=5х пересекает окружность (х-5)22=325. Найти уравнение их общей хорды.

  7. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты А(-1,1), В(6,2), С(7,-5).

  8. В эллипс 4х2+9у2=36 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы эллипса. Найти площадь этого прямоугольника.

  9. Отрезок прямой, проходящей через центр гиперболы 4х2-9у2=320 и пере-секающей ее в двух точках, имеет длину 4√29. Найти уравнение этой прямой.

  10. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-6,3) и В(0,5), зная, что ее центр лежит на прямой 2х-у+5=0.


Задание 4


Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:


  1. 2-26ху+5у2+72=0.

  2. 2+26√3ху-23у2-144=0.

  3. 23х2-26√3ху-3у2+144=0.

  4. 13х2-10ху+13у2-72=0.

  5. 21х2-10√3ху+31у2-144=0.

  6. 13х2-6√3ху+7у2-16=0.

  7. х2-2√3ху+3у2-16√3х-16у=0.

  8. 2-8ху+4у2-√2х-√2у=0.

  9. 2-2√3ху+у2-х-√3у=0.

  10. 2-34ху+8у2+225=0.


Задание 5


Построить в полярных координатах линию r = f(φ).


  1. r = 3(1-cosφ).

  2. r2 = 4cos2φ.

  3. r = 4sin3φ.

  4. r = 3sin2φ.

  5. rcosφ = 5.

  6. r= 9/(5-4cosφ).

  7. r= 9/(4-5cosφ).

  8. rsinφ = 4.

  9. r = 3/(1-cosφ).

  10. r = 2cos3φ.


^ 3. Теоретический материал,

необходимый для выполнения контрольной работы №2


Задание №1

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:



• Пусть прямые заданы каноническими уравнениями



и



Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие вектора и , т.е.



Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие вектора и , т.е.



• Расстояние от точки М(X, Y, Z) до прямой



определяется по формуле



• Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и имеющей нормальный вектор :



• Уравнение вида



называется общим уравнением плоскости.

• Уравнение плоскости, проходящей через три точки:





где М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) − точки, не лежащие на одной прямой.

• Расстояние от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости :




• Угол, образованный двумя плоскостями и :



Условие параллельности:



Условие перпендикулярности:



• Угол между прямой и плоскостью :



Условие параллельности:



Условие перпендикулярности:

Задание 2


Рассмотрим задание 2, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

a11x2+2a12xy+2a13xz+a22y2+2a23yz+a33z2+2b1x+2b2y+2b3z+c=0,

которое только при специально выбранной системе координат является каноническим (простейшим) уравнением.

Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат х, у, z. Они образуют так называемую квадратичную форму Φ(х,у,z), которую можно записать так:

Φ(х,у,z) = a11x2+a12xy+a13xz+

+a21yx+ a22y2+ a23yz+

+a31zx+a32zy+ a33z2,

где аij=aji, i, j =1,2,3.

Матрица этой квадратичной формы:

.

Нетрудно заметить, что она симметрическая, т.е. является матрицей самосопряженного оператора А. Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец



то квадратичную форму Φ(х,у,z) в матричном виде можно записать так:

Φ(х,у,z) = ХТ∙А∙Х.

С помощью ортогонального преобразования Х = Т∙Х', которому с геометрической

точки зрения в общем случае соответствует поворот координатных осей и, может быть, изменение их направления, приведем квадратичную форму к простейшему виду

Φ''',z') = (Х')Т∙А'∙Х'.

Матрица А' имеет диагональный вид, по главной диагонали ее стоят собственные числа матрицы А: λ1, λ2, λ3. В координатной форме канонический вид квадратичной формы записывается так:

Φ''',z') = λ1х'2+ λ2у'2+ λ3z'2.

Столбцы ортогональной матрицы преобразования Т формируются из координат единичных собственных векторов матрицы А: Λе1, Λе2, Λе3.

Таким образом, задача свелась к нахождению собственных чисел λ1, λ2, λ3 и соответствующих им единичных собственных векторов матрицы А. Для нахождения собственного вектора Λ=(α, β, γ)Т имеем уравнение А∙Λ=λ∙Λ или (А−λ∙Е)∙Λ=0. В координатной форме оно имеет вид

(а11−λ)α+а12β+а13γ=0,


а21α+(а22−λ)β+а23γ=0, (*)


а31α+а32β+(а33−λ)γ=0.

Решив характеристическое уравнение



найдя его корни λ1, λ2, λ3 и подставляя по очереди λ= λ1, λ= λ2, λ= λ3 в систему (*), найдем три ненулевых решения этой системы, т.е. три собственных вектора:

, , .

Пронормировав их, т.е. разделив координаты каждого вектора на его длину



найдем три единичных собственных вектора Λе1, Λе2, Λе3. Записав координаты этих векторов в качестве столбцов, построим матрицу преобразования координат Т. Заметим, что преобразованию с матрицей Т будет соответствовать правая система координат, если detT = 1, что нетрудно добиться, переставляя векторы Λе1, Λе2, Λе3.

В координатной форме преобразование Х = Т∙Х' запишется так:

х = t11x'+t12y'+t13z',

y = t21x'+t22y'+t23z',

z = t31x'+t32y'+t33z'.

В результате уравнение поверхности второго порядка приняло вид:

λ1х'2+ λ2у'2+ λ3z'2+2b'1 x'+2b'2 y'+2b'3 z'+c'=0.

Осуществив преобразование параллельного переноса по формулам

х' = х0 + х'',

у' = у0 + у'',

z' = z0 + z'',

приведем уравнение поверхности к каноническому виду. По каноническому виду нетрудно определить тип поверхности и сделать ее схематический рисунок.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка х2+4ху+у2+2z2−6=0 с помощью теории квадратичных форм. Найти матрицу преобразования и выписать формулы преобразования координат. Указать тип поверхности.

Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

1∙x2+2∙xy+0∙xz+

+2∙yx+1∙y2+0∙yz+

+0∙zx+0∙zy+2∙z2−6=0.

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:



Характеристическое уравнение имеет вид



или (λ−3)(λ−2)(λ+1)=0. Его корни, очевидно, λ= 3, λ= 2, λ= ­­­­­­−1.

Найдем соответствующие им единичные собственные векторы Λе1, Λе2, Λе3. Решаем систему

(1−λ)α+2β=0,

2α+(1−λ)β=0,

(2−λ)γ=0.

Подставляем по очереди λ=λ1=3, λ=λ2=2, λ=λ3=−1. При λ=3 имеем


−2α1+2β1=0,

1−2β1=0,

−γ1=0.

Очевидно, второе уравнение является следствием первого, т.е. фактически имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

−2α1+2β1=0,

−γ1=0.

Она имеет бесчисленное множество решений. Найдем одно ненулевое. Полагая β1=1, получаем α1=1. Очевидно, γ1=0. Итак,



При λ=2 имеем

−α2+2β2=0,

2−β2=0,

0∙γ2=0.

Очевидно, α22=0, γ2 − любое ненулевое. Полагаем γ2=1. Итак,

При λ=−1 имеем 3+2β3=0,

3+2β3=0,

3=0.

или α33=0, γ3=0. Полагая β3=−1, получаем α3=1. Очевидно, γ3=0. Итак,



Нормируем собственные векторы. , , , откуда

Λе1=, Λе2= , Λе3=.

Формируем матрицу преобразования Т, взяв качестве ее столбцов собственные векторы Λе1, Λе2, Λе3.

Получаем

Т=

Очевидно, detT = 1, т.е. система координат Ох'у'z' будет правой.

Итак, имеем преобразование Х = Т∙Х'. В координатной форме



или



Уравнение поверхности в системе координат Ох'у'z'


3х'2+ 2у'2−z'2−6=0

или



Это уравнение определяет однополостный гиперболоид.

Замечание. Кроме цилиндрических, существует шесть основных видов поверхностей второго порядка, определяемых следующими каноническими уравнениями:

  • эллипсоид

  • однополостный гиперболоид

  • двуполостный гиперболоид

  • конус второго порядка

  • эллиптический параболоид (pq > 0)

  • гиперболический параболоид (pq > 0)


^ 4. Задания по контрольной работе №2


Задание 1


Даны точки А, В, С и D. Требуется:

  1. написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В;

  2. написать уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ;

  3. найти расстояние от точки D до прямой АВ;

  4. найти основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую ВС;

  5. написать уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

  6. написать уравнение прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной плоскости треугольника АВС;

  7. найти расстояние от начала координат до плоскости треугольника АВС;

  8. найти угол между плоскостями треугольников АВС и АВD;

  9. написать уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости треугольника АВС;

  10. написать уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ;

  11. написать уравнение плоскости, проходящей через прямую ВС перпендикулярно плоскости треугольника АВD;

  12. найти координаты точки С1, симметричной точки С относительно плоскости треугольника АВD.




Номер

варианта

Координаты точки

А

В

С

D

1

(1;2;3)

(2;4;-1)

(-3;6;1)

(5;-4;-2)

2

(2;3;1)

(4;-1;2)

(6;1;-3)

(-4;-2;5)

3

(3;1;2)

(-1;2;4)

(1;-3;6)

(-2;5;-4)

4

(1;3;2)

(2;-1;4)

(-3;1;6)

(5;-2;-4)

5

(2;1;3)

(4;2;-1)

(6;-3;1)

(-4;5;-2)

6

(3;2;1)

(-1;4;2)

(1;6;-3)

(-2;-4;5)

7

(2;3;4)

(3;5;0)

(-2;7;2)

(-1;-3;6)

8

(3;4;2)

(5;0;3)

(7;2;-2)

(-3;6;-1)

9

(4;2;3)

(0;3;5)

(2;-2;7)

(6;-1;-3)

10

(2;4;3)

(3;0;5)

(-2;2;7)

(-1;6;-3)


Задание 2


Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Найти матрицу преобразования и выписать формулы преобразования координат. Указать тип поверхности.


  1. x2+y2−6yz+z2=0.

  2. 2x2−2y2−2yz−2z2+1=0.

  3. x2+2y2+3yz+2z2−10=0.

  4. x2+4xz+5y2+z2−15=0.

  5. x2+4xy+y2−2z2−12=0.

  6. 3x2+4xy+3y2+2z2−50=0.

  7. x2+3y2+8yz−3z2+1=0.

  8. x2−y2−yz−z2=0.

  9. 2x2−6xy+2y2+z2−25=0.

  10. 2x2−3y2+2z2+2xz+36=0.


Вопросы к экзамену


  1. Уравнение линий на плоскости.

  2. Полярная система координат.

  3. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение в отрезках.

  4. Угловой коэффициент прямой.

  5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

  6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

  7. Общее уравнение прямой на плоскости.

  8. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

  9. Вычисление расстояния от данной точки до данной прямой.

  10. Уравнение второго порядка с двумя переменными. Окружность.

  11. Эллипс.

  12. Гипербола.

  13. Парабола.

  14. Общее уравнение второго порядка. Приведение к каноническому виду.

  15. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

  16. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

  17. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

  18. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

  19. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

  20. Общее уравнение прямой в пространстве.

  21. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

  22. Вычисление расстояния от данной точки до данной плоскости.

  23. Общее уравнение второго порядка с тремя переменными.

  24. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

  25. Эллипсоид.

  26. Двуполостный гиперболоид.

  27. Однополостный гиперболоид.

  28. Эллиптический параболоид.

  29. Гиперболический параболоид.

  30. Конус.


Примеры экзаменационных задач


  1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) и составляющей угол 135о с осью Ох.

  2. Дан эллипс 5х2+7у2=35. Найти расстояние между фокусами эллипса.

  3. Дан треугольник с вершинами А(2;-5), В(-1;6) и С(3;-8). Найти его высоту АЕ.

  4. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку

(–6√2;4), если одна из ее асимптот имеет уравнение у=(2/3)x .

  1. Дан треугольник с вершинами А(–1;4), В(3;–6) и С(–8;5). Написать уравнение медианы АD.

  2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку (5;3/√2) и имеющего эксцентриситет 0,8.

  3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3;–5) параллельно прямой 4х+3у=10.

  4. Дана гипербола 3х2–у2=9. Чему равен меньший угол между асимптотами гиперболы?

  5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(–8;7) перпендикулярно прямой 9х–2у=18.

  6. Дана парабола у2=6х. Написать уравнение прямой, проходящей через фокус этой параболы и составляющей угол π/4 с осью Ох.

  7. На оси Ох найти точки, расстояние которых от прямой 7х+15у+8=0 равно 2.

  8. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус и верхнюю вершину эллипса 4х2+5у2=20.

  9. Даны прямые 2х+3у-6=0 и х–2у+2=0. Какая из них дальше удалена от начала координат?

  10. Найти расстояние от начала координат центра окружности

2+4у2–4х+16у+13=0 и ее площадь.

  1. Привести к каноническому виду уравнение прямой

2х–3у–3z–9=0;

x–2y+z+3=0.

16. Через прямую (х+5)/3=y–2=z/4 провести плоскость: а) параллельную

плоскости x+y–z+15=0; б) перпендикулярную этой плоскости.

17. Написать уравнение плоскости, содержащей прямые 1–x=(y–2)/5=(z+4)/2 и (x–2)/2=(5–y)/2=(z–1)/3.

18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2;3;5) и

перпендикулярной прямой (x–4)/4=(y+10)/3=(z–1)/2.

19. Вычислить расстояние между параллельными прямыми x=(y–1)/3=(z–2)/5 и x–5=y/3=(z+6)/5.

20. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (5;–1;–3) и

параллельной плоскостям 2x+3y+z–6=0 и 4x–5y–z+2=0.


Алгебра и геометрия: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» и 230400.62 «Информационные системы и технологии» (2 семестр)


АЛЕКСЕЙ ПЕТРОВИЧ МЫСЮТИН


Научный редактор Гусакова Л.А.


Редактор издательства Афонина Л.И.


Компьютерный набор Левкина А.П.


Темплан 2012 г., п. 213

Подписано в печать __.__.12 Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 1,27 Уч.-изд. л. 1,27 Т. 30 экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.


Похожие:

Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений
Алгебра и геометрия [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения и миппс технических направлений бакалавриата
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения и миппс технических направлений бакалавриата...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconПрограмма и методические указания к изучению раздела курса для студентов заочной формы обучения специальности 190601-«Автомобили и автомобильное хозяйство»
Лей: Программа и методические указания к изучению раздела курса для студентов специальности 190601 «Автомобили и автомобильное хозяйство»...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономическое моделирование» для студентов заочной формы обучения
Методические рекомендации предназначены для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика»
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания по изучению курса для студентов специальности 030501 «Юриспруденция» заочной формы обучения
Утверждено на заседании кафедры предпринимательского и коммерческого права протокол № от 2012 г
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по специальности
...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения
Методические указания составлены в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания по изучению дисциплины, выполнению контрольных работ для специальностей 080111. 65, 080502. 65, 032401. 65
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Финансы, денежное обращение и кредит»,...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения по специальности
Методические указания и задания к контрольным работам составлены в соответствии с государственными образовательными стандартами второго...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания для студентов дневной и заочной формы обучения Специальности "Юриспруденция" Издательство "Самарский госуниверситет"
Методические указания содержат программу курса, список литературы и источников, планы семинарских занятий, примерную тематику дипломных...
Методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направлений iconМетодические указания к контрольной работе по курсу «Системы производства и распределения энергоносителей промышленных предприятий» для студентов заочной формы обучения
«Системы производства и распределения энергоносителей промышленных предприятий» для студентов заочной формы обучения специальности...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы