М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». icon

М. Жалдак, Ю. Рамський «Чисельні методи». Бахвалов Н. С. Жидхов Н.П. «Чисельні методи».


Скачать 58.32 Kb.
НазваниеМ. Жалдак, Ю. Рамський «Чисельні методи». Бахвалов Н. С. Жидхов Н.П. «Чисельні методи».
Размер58.32 Kb.
ТипДокументы
2a7690f7.gif" ALIGN=LEFT>

Вступ.


Література:

  1. М. Жалдак, Ю. Рамський «Чисельні методи».

  2. Бахвалов Н. С. Жидхов Н.П. «Чисельні методи».

Самостійна робота:


  1. Друга інтерполяційна формула ньютона.

  2. Квадратичне наближення (y=ax2+cx+b).

  3. Метод натягнутої нитки. (Виконати не міліметровці)

Розділ 1: Елементарна теорія похибок.


Тема: Абсолютна похибка наближеного значення числа. Межа абсолютної похибки.

При виконанні масових обчислень дотримуються певних правил, що випливають з практичної діяльності: їх виконання економить час обчислювача і дозволяє раціонально використовувати програмне забезпечення.

Насамперед розробляють складну обчислювальну схему, точно вказують порядок дій і знаходять найбільш раціональний план їх виконання. Це дає змогу використовувати працю менш кваліфікованих працівників.

При виконані обчислювальних операцій велику увагу звертають на контроль обчислення. Контроль ділиться на поточний і заключний.

Наступний етап – оцінка точності. В більшості випадків розглядають похибки дій і похибки округлень іноді додають похибку методу.

Наближеним число (а) – називають число, що незначно від точного числа (А) і заміняє його в обчислені.

Якщо а<А – з недостачею.

Якщо a>A – з надлишком.

Похибка – це різниця між точним і наближеним значенням.

(1)

Абсолютною похибкою – це абсолютна величина різниці між точним числом та наближеним числом.

  1. Число А – відоме, тоді використовують формулу 1.

  2. Число А – невідоме, тоді запроваджують оцінку абсолютної зверху і називають її граничною абсолютною похибкою.

Гранична абсолютна похибка (Δа) - це число, яке не менше абсолютної похибки цього числа.

Формула 2: (2)
^

Тема: відносна похибка наближеного значення числа


Знання абсолютної похибки недостатня для точного обчислення. Якість результата вимірювання характеризується відносною похибкою. Відносною похибкою (дельта) а – називають відношення абсолютної похибки числа а до |A|

(1) (2)

Найчастіше використовують формулу 2, так як точне значення майже завжди невідоме.

Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називають числом (3)

Граничну відносну похибку прийнято називати відносною.

Зв»язок між граничною абсолютною та відносною похибками знаходять з формули 3. (4)
^

Зв’язок між числом та відносною похибкою.


Виявляється, що за кількістю значущих цифр можна визначити число.

1.

  1. a=63,4

=0,05



Висновок: відносна похибка числа визначається набором і порядком розташування значущих цифр, але не залежить від положення коми.



Число перших значущих цифр

Перша значуща цифра

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

50

25

17

13

10

9

8

7

6

2

5

3,0

2

1,3

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

3

0,5

0,3

0,2

0,13

0,1

0,09

0,08

0,07

0,06



У випадку 4-ох значущих цифр, то рядок зменшують в 10, якщо 5 – в 100 і т.д.

  1. а=2,84 =0,2%

  2. а=0,284, =0,2%

  3. а=38,7, =0,13%

  4. а=0,0043, =1,35

  5. а=0,004300, =0,013%

  6. а=0,08, =7%

  7. а=0,00800, =0,07%

  8. а=0,02104, =0,03%
^

Тема: Дії над наближеними числами.


№1. За наближеними данними обчислити об»єм циліндра.

см

см

см


Теорема 1: гранична абсолютна похибка суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок.

Теорема 2: Гранична абсолютна похибка різниці наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного і від»ємника.

Теорема 3: Гранична відносна похибка добутку декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних похибок-множників.

Теорема 4: Гранична відносна похибка частки дорівнює сумі граничних відносних похибок діленого і дільника.
^

Розділ 2: методи розв’язування рівнянь

Тема: Алгебраїчні і трансцендентні рівняння. Графічний метод розв’язку рівнянь і систем


Всяке рівняння з одним невідомим можна представити у вигляді: (1)

Число ξ (Ксі) називається коренем рівняння, якщо при рідстановці замість х (1) в правильну рівність. Розглядають рівняння алгебраїчні і трансцендентні.

Рівняння (1) можна представити у вигляді (2), якщо ліва частина являє собою поліном та має вигляд (3) або деяку раціональну функцію, то таке рівняння алгебраїчне.

Корені многочлена можуть бути дійсними або коплексними, проте чисельні методи розгладають тільки дійсні корені.

ЧМ – розглядають задачі: 1) Встановлення чи має рівняння дійсні корені і скільки.

  1. Обчислення коренів і заданною степінню точності.
^

Властивості алгебраїчних рівнянь.


  1. Всяке Алгебраїчне Рівняння (АР) має, принаймні, один корінь – дійсний або комплексний.

  2. АР n-го степеня має більше ніж n коренів.

  3. Всяке АР з дійсними коефіцієнтами може мати лише парне число комплексних корнів.

  4. Якщо алгебраїчне рівняння має непарний степінь, то воно має принаймні один дійсний корінь.
^

Графічний спосіб розв’язування


  1. f(x) = 0; див. мал. 1

Розв’язком даного рівняння є множина точок перетину з віссю Х.



У випадку 2 коренями рівняння є абсциса точок перетину графіків.

№2. Довести, що рівняння не має коренів.

x2 + 1

=sin (x)
^

Тема: Визначення коренів. Уточнення коренів методом проб


Види числових проміжків:

  1. (a;b) – відкритий інтервал.

  2. [a;b] – закритий інтервал.

  3. (a;b] або [a;b) – напівінтервал.

Функція називається неперервною в точці х0, якщо границя даної функції обислюється за формулою: .

Функція є неперервною в точці х, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Відокремлення коренів.

Наближений процес розв’язування на 2 етапи: 1. Відокремлення коренів. 2. Уточнення коренів. Корінь ξ називають відокремленим на даному проміжку, якщо на цьому проміжку ніяких коренів крім ξ немає. Провести повне відокремлення – значить розбити всю ОДЗ, в кожному з яких містить хоч один корінь, або не міститься жоден.

Теорема 1: Якщо функція (А;В) неперервна і приймає на кінцях цього відрізка різні за знаком числа, то в середині відрізка (А;В) існує принаймні один корінь рівняння.

Теорема 2: Нехай функція АВ монотонна значення різних знаків. Тоді f(x)=0 має єдиний корінь що міститься в середині відрізка АВ.

Теорему 3: Якщо функція f(x)=0 приймає на кінцях різні за знаком значення і похідна на відрізку зберігає сталий знак, то на відрізку АВ існує єдиний корінь рівняння f(x)=0

Уточнення методом проб

Нехай дано рівняння: f(x)=0 і на відрізку АВ відокремлено корінь ξ. Тоді шляхом послідовного поділу відрізок АВ зменшуємо до тих пір поки наближений корінь рівняння не досягне заданої точності.

Задача 1. Відокремити та уточнити додатній корінь рівняння: , до тисячних.

0

F(0)=-1

F(1)=1-4-1=-40

F(..)

F(3)=27-12-1=140

ξ[2;3]


9,261-8,4-1=-0,139.

10,648-8,8-1=0,848.

ξ[2.11;2,12].

Отже уточнений корінь а=2,1150,0005.
^

Тема: Уточнення коренів методом хорд


Нехай корінь рівняння 1 відокремлено на відрізку АВ.

Нехай ξ точний корінь рівняння 1.

АВ – хорда

АВ – перетинає вісь ОХ і отримаємо ξ – наближений корінь.

Трикутник ABL – прямокутний.

Розглянемо подібні трикутники.

Δ KMA подібний Δ LAB. С подібності випливає, що (2)

(3)

З формули 3 визначимо ξ1=

Корінь ξ1 є недостатньо точним. Проведемо хорду ВА1.

ВА1 перетинає ОХ у точці ξ2

(4)




Процес продовжують поступово надаючи кореням різну степінь точності.

Ξ1= (6)



Якщо на відрізку (АВ) перша і друга похідні функції f(x) одного знаку, то використовують формулу 4, якщо різних знаків – формулу (6).

Задача: знайти додатній корінь рівняння з точністю до 0,001.

=0

  1. Відокремимо корені перевіривши значення функції в додатніх точках.

f(0)=-1,2

f(1)=-0,6

f(2)=5,60

  1. F(1,5)=3,375-0,2*2,25-0,2*1,5=1,425.

За допомогою похідних визначимо яку форму приймає графік функції і яку формулу застосовувати.

F’(x)=

F’’(x)=6x-0,4.

  1. Перевіримо які знаки мають похідні на проміжку (1;1,5).

В даному випадку застосовуємо формулу (4).

A ) =1,15

Б ) Ξ2=1,15+=1,19

F(1,19)=-0,036

В )

F(1,198)=-0,0072

Ξ=1,2; f(1,2)=0
^

Тема: уточення кореня методом дотичних (Ньютона)


Нехай корінь рівняння ξ відокремлений на відрізку АВ: f(a) i f(b) мають різні знаки.

Проведемо в точці А дотичну до графіка функції, точка перетину з віссю х ξ1 – наближене значення кореня.

- геометричний зміст похідної.

АК = * КМ

(7)

AMK = 180 - AMC

З формули 7 визначаємо ξ1, після спрощення отримаємо:

(8) або в разі іншого розміщення кривої: (9)



(8) – в, г (Минула тема).

(9) – а,б ) (Минула тема).

Підставивши у формулу 8 замість а ξ1 знайдемо ξ2

Задача 1 : обчислити методом Н’ютона від’ємний корінь рівняння.

f(x) = 0

f(0) = -10000;

f(-1)= -9937

f(-10) = 10000 – 300 -750 – 10000 = -1050

f(-11)= 14641 – 363 – 825 – 10000 = 3453

Щоб дізнатися вихідну точку х0 обирається той кінець інтервалу АВ якому відповідає ордината того ж знаку, що й знак другої похідної
^

Тема: Метод послідовних наближень. Метод ітерацій.


Розглянемо рівняння F(x) = 0 (1) (1), щоб застосувати метод ітерацій його представляють у вигляді x=f(x) (2). Нехай у рівнянні 2 ми відокремили якісь корінь. Процес ітерації починають з початкового наближення кореня х0 В якості х0 часто беруть 0. Підставивши х0 в (2) отримаємо перше наближення x1=f(x0) (3). Аналогічно отримаємо друге наближення, третє і т.д. .

(6).

В результаті отримаємо послідовність наближених значень рівняння (2)

=x* (7).

Не завжди послідовність збігається до істинного кореня рівняння. В такому разі застосовують інші методи.

  1. (Див Iteration_method.cpp)

При зростанні номера послідовність збігається 7-ме і 8-ме наближення співпадають, тому 0.1510 вважають наближеним значенням кореня.
^

Розділ 3: Розв’язування систем лінійних рівнянь.

Тема: наближене розв’язування методом Гаусса.


При складанні топографічних карт, транспортних задач і т.д. використовують системи лінійних рівнянь. Тому з точки зору раціональності вибирають метод, що вимагає меншої кількості операцій. Таким методом є метод Гаусса. Розглянемо алгоритм методу на прикладі системи з 3-а невідомими.

=0

=0

=0


=0

=0

=0

У дані рядки записуємо вихідні дані: коефіцієнти і вільні члени. В стовпці суми записуємо суму всіх чисел, що знаходяться зліва.

4-ий рядок: в кожній клітинці 4-го рядка записуємо число, яке отримаємо від ділення відповідного елемента першого рядка на крайній лівий елемент з протилежним знаком.

5-ий -6-ий рядок. Для заповнення рядка 5 беруть відповідний елемент рядка 2 і додають добуток крайнього лівого елемента рядка 2 на стоячий над даною клітинкою елемент рядка 4.

Так заповнюємо і рядок 6, тільки замість рядка 2 беремо рядок 3.

7-ий рядок (Так як четвертий). В кожну клітинку рядка 7 крім крайньої лівої вписують число отримане від ділення відповідного елемента рядка 5 на її крайній лівий елемент з протилежним знаком.

8-ий рядок заповнюють так як п’ятий, з використанням рядків 6 та 7.

9-ий рядок – так як 7-ий з використанням рядка 8.

На цьому закінчується прямий хід.

4-7-9 – це червоні рядки
^

Обернений хід.


Рядок 10. В стовпці «вільні члени» вписують 1.

Обчислення x3: число 1 множимо на стояче над ним число 9-го рядка.

Обчислення x2: беремо всі числа, що стоять справа і множимо кожне з них на число, що стоїть в наступному червоному рядку 7. Сума добутків і є x2

Обчислення х1 Всі числа справа від х1 множимо на відповідні числа наступного червоного рядка (4). Сума добутків і є х1

Примітка: число що стоїть у стовпці суми повинно дорівнювати сумі чисел даного рядка.



Х1

Х2

Х3

Вільні члени

Суми

1

10,2000000

6,0700000

-91,4000000

50,3000000

-24,8300000

2

9,2800000

-79,6000000

-4,9200000

25,8000000

-49,4400000

3

68,3000000

-2,7100000

-8,1400000

32,6000000

90,0500000

4

-1,0000000

-0,5950000

8,9607000

-4,9313000

2,4344000

5

0,0000000

-85,1216000

78,2352960

-19,9624640

-26,8487680

6

0,0000000

-43,3485000

603,8758100

-304,2077900

256,3195200

7




-1,0000000

0,9191004

-0,2345170

-0,3154166

8







564,0341866

-294,0418289

269,9923577

9







-1,0000000

0,5213000

-6,4786700

10

-0,4056300

0,2446100

0,5213000

1,0000000




11

10,2000000

6,0700000

-91,4000000

50,3000000

-24,8300000



^

Тема: розв’язування систем рівнянь за допомогою методу ітерацій.


Даний метод можна застосовувати якщо система лінійних рівнянь представлена у вигляді:

X=A1x+B1x+C1z+D1

Y=A2x+B2x+C2z+D2

Z=A3x+B3x+C3z+D3

Нехай (x*,y*,z*)- точний розв’язок рівнянь.

Спочатку беруть початкове наближення (X0,Y0,Z0), найчастіше це (0;0;0). Підставляємо в праві частини системи 1 і знаходимо (X1;Y1;Z1) – I наближення. Аналогчно підставивши перше наближення в праву частину (1), дістанемо II наближення. Процес продовжуємо до тих пір поки (Xk;Yk;Zk) поки k-е наближення не стане як-завгодно близьким до точного розв’язку.

Метод ітерацій можна використовувати не для всіх систем, а лише для тих для яких виконуються умови:

  1. Сума модулів коефіцієнтів в правій частині менше 1.

  2. Сума квадратів всіх коефіцієнтів в правій частині теж менше одиниці.

Задача 1.

X=0,12x-0,18y+0,08z-0,64

Y=0,15x+0,06y-0,11+0,26

Z=0,04x-0,10y-0,09z+1,34

  1. Перевіримо чи можна застосувати метод.

0,12+0,18+0,08=0,38<1

0,15+0,06+0,11=0,32<1

0,04+0,1+0,09=0,23<1.

  1. Y0=0; x0=0; z0=0;

X1=-0,64; Y1=0,26; Z1=1,34;

X2=-06564; Y2=0,0289; Z2=1,1951;

X3=-06311; Y3=0,035; Z3=1,205;

X4=-6256; Y4=0,0349; Z4=1,2032;

X5=-6252; Y5=0,036; Z5=1,2032;


Продовжуючи процес помічаємо, що у 4-му і 5-му наближенні майже співпадають 3 десяткові знаки, отже 5-те наближення можна приймати за розв’язок.
^

Обчислення значень полінома за допомогою схеми Горнера


При обчисленні за допомогою ПЗ має значення вигляд відповідної формули. Математично еквівалентні вирази часто є нерівноцінними з точки зору обчислення. Задача чисельних методів – звести обчислення до послідовних виконань елементарних дій. Такі операції можна розбити на цикли, що повторюються.

Нехай маємо поліном (1)

Нехай стоїть задача обчислити значення полінома при x=ξ

У формулі 2 поступово виносячи за дужки ξ, можна прийти до вигляду

(3)

B0=A0;

B1=A1+B0*ξ;

B2=A2+B1*ξ




Схема Горнера:

A0 A1 A2 … An ξ

B0ξ B1ξ …

B0 B1 B2 … Bn = Pn(ξ)


^

Тема: поняття ланцюгового дробу


Ланцюговий дріб – це дріб виду.



Якщо кількість ланок скінченна, то дріб називають скінченним.

Стандартний ланцюговий дріб, то дріб у якого всі чисельники одиниці.
^

Як перетворити ланцюговий дріб у звичайний.


  1. ] – до ланок та звертаємо з кінця.













1-


^

Тема: загальні відомості про таблиці


В обчислювальній практиці широко використовуються таблиці значень різних функцій. Таблиці побудовані наступним чином:

X

X2

Y0

6,10

37,21

12

6,11

37,33

12

6,12

37,45

Міжстроково.

6,13

37,58

13

6,14

37,70

12

II стовпчик – y0, y1… значення функції.

III стовпчик – це таблична різниця.

В таблицях всі числа записані правильними цифрами.

Задача №1. Нехай потрібно знайти проміжне значення функції для значення аргументу х=6,134 (Для значення якого немає таблиці)

Явище відшукання проміжних значень функції базується на інтерполяції найпростіший її вид – лінійна інтерполяція.

X0 = 6,130

X1 = 6,140

Y0=37,58

Y1=37,70

=12 (в сотих)

Значення аргументу збільшується на 10 в тисячних долях. В цей час значення функції збільшується на 12 (в сотих долях). Знайдемо у – шуканий приріст функції пр збільшенні аргументу на 4 (тисячні долі)



Δy==4,8=5.

При малих значеннях аргументу можна припустити, що приріст функції пропорційні приросту аргумента (В цьому полягає ідея лінійної інтерполяції).

З геометричної точки зору лінійна інтерполяція означає, що на відрізку х0, х1 дугу кривої можна замінити хордою.

Формула лінійної інтерполяції.

Х0, Х1 – сусідні значення.

H – крок.

X_ -

Y_ - значення у при х_





Y=x3

X=1,487

X0 = 1,48;

X1 = 1,49;

Δx = 0,007;

H=10 (тисячні);

Δy=66 (тисячні);

У0 = 3,242;

=3,288.

Зауваження: лінійну інтерполяцію формально можна застсосовувати завжди, але іноді отримані результати дають величезну похибку. Отже даний й метод доцільний тоді, коли значення функції отримане методом інтерполяції, буде мати ту ж точність, що й табличне значення функції. Таблиця зі сталим кроком допускає лінійну інтерполяцію тоді. Коли сусідні табличні різниці відрізняються одна від одної не більше ніж на 4 одиниці, нижчого розряду табличного значенням функції.
^

Тема: постановка задачі інтерполювання. Інтерполяційний многочлен Лагранжа


F(x) – шукана функція.

Нехай на множині дійсних чисел визначено деяку функцію f(x). На практиці трапляються випадки, коли аналітичний вираз f(x) невідомий, а відомі лише значення цієї функції добуті в результаті вимірювання.

Отже, виникає потреба вихідну функцію f(x) наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією φ(x), яка є простішою ніж f(x).

ρ(φ(x);f(x))≈0;

Апроксимуючу функцію φ(x) часто беруть у вигляді лінійно комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінченну множину. Ці функції лінійно-незалежні:

φ(x)=a0φ1(x)+a1φ2(x) (1) – узагальнений многочлен.

Всі значення аргументу xi-вузли інтерполяції. Розглянемо один з випадків апроксимації, суть якого полягає в тому, що коефіцієнти у фомулі (1) підбирають так, щоб у вузлах функції f(xi)=φ(xi)

В таких випадках функцію φ(х) називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв’язок, якщо при будь-якому розміщені вузлів на основі формули (1) створено систему, для якої визначник не дорівнює 0.

Системи для яких виконується дана умова називають системи Чебишева.

Лагранжа.


Нехай у точнах xi значення функції уі. Побудуємо таких поліном.

Ln(x)

Щоб його значення у вузлах співпадали із значеннями у функції. (Ln(xi))=f(xi)

З даної умови дістаємо систему (1).

а0, а1 … = невідомі.

Визначник Ван-дер-Монда(2).

Функції … утворюють систему Чебишева. Якщо серед вузлів немає таких, що збігаються інтерполяційний член існує і єдиний.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа (5).

Інтерполяційний член Лагранжа найчастіше використовується у вигляді формул лінійного і квадратичного інтерполювання.

Якщо n=1,

N=2,

Для функції заданою таблицею написати інтерполяційний многочлен Лагранжа.

X

0

1

2

3

F(x)

1

3

2

4



^

Тема: застосування інтерполяційного члена Лагранжа для обчислення значень функції


Дано:

Х

У

321.0

2,50651

322.8

2,50893

324.2

2,51081

325.0

2,51188



F(323,5) - ?



^

Тема: математична обробка результатів, дослідів. Складання емпіричних формул


Іноді в результаті дослідів отримують результати, між якими потрібно встановити аналітичний зв’язок. Тоді метою дослідника є встановлення формули яка наближено виражає зв’язок між величинами. Така формула називається емпіричною.

Ідея побудови емпіричної формули полягає в тому, щ створюють функцію достатньо простого виду і значення функції при цьому близькі до дослідних.


Після побудови точкового графіка на основі дослідних даних будують на око пряму або криву, щоб точки графіка рівномірно розташовувались від неї. При цьому не обов’язково, щоб лінія проходила через дослідні точки.

Лінійне наближення

Нехай розташування дослідних точок нагадує пряму. Розглянемо емпіричну формулу у вигляді у=ах+в. (1)

І. Метод натягнутої нитки.

Будуємо точковий графік на міліметровому папері, проводимо пряму близьку до дослідних точок. Α- кут між віссю х та прямою.

Tg α=k=a

В – пряма, що відтинає відрізок по осі ОУ.

Y=tg α * x+b

ІІ. Метод вибраних точок.

Будуємо точковий графік, проводимо пряму. Вибираємо на ній дві достатньо далекі точки і підставляємо в (1).

Потім знаходимо А і В.

ІІІ. Метод середньої.

Нехай дано дослідні точки

x

X1

X2

...

Xn

y

Y1

Y2



Yn



Оскільки дослідні точки можуть не належати шуканій прямій, то при підстановці в рівняння отримаємо . Враховуючи випадковий характер відхилень маємо Δ1+Δ2+…Δn=0

Щоб застосувати метод середньої дослідну таблицю ділять на дві частини для кожної групи Х шукають суму «нев’язок (Δ)» із отриманої системи знаходять А і В.

№1. Дано дослідні точки.

X

0

3

5

8

10

14

17

20

22

24

Y

1.02

2.50

3.92

5.16

6.82

8.36

10.74

11.82

13.64

12.96


^

Розділ: числельні інтегрування

Тема: Найпростіші квадратурні форми. Інтегрування методом прямокутників.




В математиці визначений інтеграл обчислюються за формулою Ньютона-Лейбніца

Але на практиці часто функція, що стоїть піл знаком інтеграла є достатньо складною або неможливою для інтегрування.

В таких випадках застосовують методи чисельного інтегрування.

Задача чисельного інтегрування полягає в обчислені значень визначеного інтеграла на основ ряду значень підінтегральної функції.

Чисельне обчислення одинарного інтеграла називається механічною квадратурою, а подвійного механічною кубатурою.

Звичайний прийом механічної квадратури полягає в тому, що задану підінтегральну функцію f(x) апроксимуючою функцією φ(x), яка інтегрується набагато легше.

Метод 1. (Формула Ньютона-Котеса)

Розглянемо інтерполяційні квадратурні формули в яких вузли рівновіддалені. Їх вперше розглянув Ньютон а дослідив Котес. Розглянемо частинні випадки цих формул.

H=





K

Xk







0

0

0

1

1

1

0,1

0,001

1,001

0,999000999

2

0,2

0,008

1,008

0,992063492

3

0,3

0,027

1,027

0,973709834

4

0,4

0,064

1,064

0,939849624

5

0,5

0,125

1,125

0,888888888

6

0,6

0,216

1,216

0,822368421

7

0,7

0,343

1,343

0,744601638

8

0,8

0,512

1,512

0,661375661

9

0,9

0,729

1,729

0,578368999

10

1

1

2

0,5

Тема: Квадратурні формули трапеції


– формула трапеції в квадратурі.

За формулами трапецій обчислити: , n=5

Тема: Формула парабол (Симпсона)


H=

– формула Симпсона

Похожие:

М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconМ. Жалдак, Ю. Рамський «Чисельні методи». Бахвалов Н. С. Жидхов Н.П. «Чисельні методи».
При виконанні масових обчислень дотримуються певних правил, що випливають з практичної діяльності: їх виконання економить час обчислювача...
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconМетоди обстеження пацієнтів із захворюваннями органів травлення
Огляд та поверхнева пальпація живота, перкусія та аускультація живота. Методи виявлення асциту
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconВт. Основи біоніки, біофізики…(1 тиж. – лек., 2 тиж. – пр.) Методи досліджень у фк І с (1 тиж. – лек.) Функц діагностика (2 тиж. – пр.) Методи досліджень у фк І с (1 тиж. – пр.) Методи фр у лпз (2 тиж. – пр.) Ср

М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». icon2. Г. використовує наукові дані і методи дослідження суміжних дисциплін : астрономії, географії, геофізики геології, кліматології, метеорології, океанології, радіології. Г
Методи Г.: а епідеміологічний метод; б. Метод санітарного обстеження і опису; в. М. гігієнічного експеримену : м натурного екперименту;...
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconЛекція №1 Методи обстеження пацієнта. Опитування, загальний і місцевий огляд, основні та додаткові методи дослідження. Внутрішні хвороби
Внутрішні хвороби одна з найбільших галузей теоретичної та практичної медицини, яка вивчає розпізнавання захворювань внутрішніх органів...
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconЛекція тема заняття. Моделі та методи лінійного програмування, їх застосування за допомогою табличного процесору ms excel модели и моделирование
Тема заняття. Моделі та методи лінійного програмування, їх застосування за допомогою табличного процесору ms excel
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconПрактикум. Глосарій
Композиція повідомлення: помилки та методи їх усунення. (Приклади ‒ на кожен різновид композиції)
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconМодульні завдання
Дайте класифікацію запалення залежно від характеру ексудату та вкажіть методи лікування
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». icon1. Гігієна як наука, її мета, зміст, завдання, методи дослідження та зв’язок з іншими науками галузь медичних знань
Гігієна як наука, її мета, зміст, завдання, методи дослідження та зв’язок з іншими науками галузь медичних знань
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconТема 4 Методи сучасної психології План
Значення психолого-педагогічних досліджень в діяльності педагога професійної школи
М.\n	Жалдак, Ю. Рамський\n	«Чисельні\n	методи».\n	Бахвалов\n	Н. С. Жидхов Н.П.\n	«Чисельні\n	методи». iconЗапитання до іспиту з дисципліни «Теорія сепараційних процесів»
Суть і основні методи моделювання сепарації мінеральних частинок за магнітною сприятливістю
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы