Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon

Пусть заданы непустых множества: D-упор. пар(х;у) и Е- чисел z. Закон f, по которому к каждой паре (х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается E=f(x;y). х;у-называется независимой переменной( аргумент), z-называется зависимая переменная (


Скачать 58.07 Kb.
НазваниеПусть заданы непустых множества: D-упор. пар(х;у) и Е- чисел z. Закон f, по которому к каждой паре (х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается E=f(x;y). х;у-называется независимой переменной( аргумент), z-называется зависимая переменная (
Размер58.07 Kb.
ТипЗакон
20419abd.gif" ALIGN=LEFT>1. Функция двух переменных (основные понятия)

Пусть заданы непустых множества: D-упор. пар(х;у) и Е- чисел z. Закон f, по которому к каждой паре (х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается E=f(x;y). х;у-называется независимой переменной( аргумент), z-называется зависимая переменная (функция), D-область определения; Е-множество значений функции

Область определения – это вся плоскость оху или некоторая её часть. Линия ограничивающая область называется границей, точки области не принадлежащей границе, называющимися внутренними. Область состоящая только из внутренних точек называется открытой, а если с точками границы-закрытой.

Геометрическая ФПД Z=f(x;y), то ставят в соответствие каждой точки оху точку пространства oxyz(апликата:z), т.е. z=f(x;y)- поверхность.

ФПД можно задать аналитически, графически и таблично.

Если при аналитическом способе дополнительно об области определения ничего не сказано, то её находят из условия существования выражения описывающую данную функцию.


2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Пределом функции f(х;у) в точке М000) называется А, если для каждого ^ Е>0 существует δ>0 такой, что для каждой точки (х;у)≠(х00) принадлежашей δ-окрестности точки М0 выполняется │f(x;y)-А│<E

limМ→М0f(x;y)=A или limXX0 f(x;y)=A или limУ→У0 f(x;y)=A или У0 f(x;y)→A при М→М0

f(x;y) называется непрерывной в точке М000), если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке

2) существует limМ→М0f(x;y)

3) этот предел равен f(х00)

Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной в области.


3. Частные производные функции двух переменных (определение, геометрический смысл, теорема Шварца)

Если существует конечный предел lim∆Х∆xZ/∆X, то он называется частной производной функции z по переменной х и обозначается z|X=f|X=dz/dх=df/dx, аналогично для у

Геометрический смысл: рисунок

Z=f(x;y)-верхность

Z=f(x;y0)-уровнение минимума пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0 причем Z=f(x;y0)-функция одной переменной => Z|X0)=tgα, аналогично y|Y

Теорема Шварца: Смешанные производные одного порядка отличающиеся только порядком дифференцирования равным между собой Z||XY= Z||YX; Z|||XXY=Z|||XYX=Z|||YXX≠ Z|||YYX


4. Производная по направлению и градиент (определения, свойства)

Скорость изменения функции z=(x;y)в заданном направлении λ(вектор) характеризуется производной по направлению этого вектора dx/d λ(вектор)= (-dz/dx)cosα+(dz/dy)cosβ, где cosα, cosβ –направляющие косинусы векторы λ(вектор).

В случае трёх переменных u=f(x;y;z) dx/d λ(вектор)= (-du/dx)cosα+(du/dy)cosβ+du/dz)cosγ

Направление наибыстрого роста функции задает вектор, который называется градиент.

Свойства: 1. grad(c)=0 2. grad(u±v)=gradu ± gradv 3. grad(cu)=cgradu

4. grad(uv)=vgradu+ugradv 5. grad(u/v)= (vgradu-ugradv)/v2


5. Экстремум функции двух переменных ,

Точка М000) называется точкой минимума функции z=f(x;y), если для всех точек (x;y)из некоторой δ-окрестности точки М0 выполняется неравенство f(x;y)≥ f(х00), аналогично точка максимума М000), если для всех точек (x;y)из δ-окрестности выполняется неравенство f(x;y)≤f(х00)

Значение функции точки минимума называется min .В точке максимума max


6. Понятие неопределенного интеграла (задача, теорема о первообразных(с доказательством), определение, геометрический смысл.

Рассмотрим задачу:

Пусть f(x)- непрерывна на [a;b], требуется найти такую F(x), чтобы для каждого x€[a;b] выполняется F(x)= f(x)

Например, f(x)=3х3, очевидно, что F(x)= х3 но F1(x)= х3+2

Определение: F(x) называется первообразной для f(x) на [a;b], если для каждого x€ [a;b] F|(x)= f(x)

Теорема: если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на [a;b], то во всех точках этого отрезка выполняется равенство F1(x)-F2(x)=С, С=const

Доказательство: по определению первообразной для каждого x€[a;b] выполняется F|1(x)= f(x) и F|2(x)= f(x) ϕ(х)= F1(x)-F2(x) и продифференцируем. ϕ|(х)= F1|(x)-F2|(x)=f(x)-f(x)=0 для каждого x€ [a;b] => ϕ|(х)=0 для каждого x€ [a;b] =>по следствию т.Лагранжа ϕ(х)=с => F1(x)-F2(x)=С, ч.т.д. Семейство первообразных F(x)=с называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C, здесь f(x)-подынтегральная функция, f(x)dx-подынтегральное выражение

Геометрический смысл: неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых получаемых друг из друга параллельным переносом вдоль оси оу на постоянную величину.


7. Свойство неопределенного интеграла( с доказательством)

1. (∫f(x)dx)|=f(x)

2. d(∫f(x)=f(x)dx

3. ∫d(F(x))=F9x)+C

4. ∫f1(x)±f2(x)dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx

Продифференцировав обе части равенства( ∫f1(x)±f2(x)dx)|=(∫f1(x)dx±∫f2(x)dx)|

f1(x)±f2(x)= (∫f1(x)dx)|±(∫f2(x)dx)| f1(x)±f2(x)= f1(x)±f2(x)

вывод: тождество, следовательно равенство и свойство справедливо.

5. ∫Af(x)dx=A∫f(x)dx

6. Если для каждого x€[a;b] ∫f(x)=F(x)+C

Доказательство: по определению первообразной F|(t)=f(t) => F|(kx)=f(kx)

Продифференцировав обе части равенства (∫f(kx)dx)|=(1/k•F(kx)+C)|

f(kx)= 1/k•F|(kx)(kx)|+0

f(kx)= 1/k•F|(kx)k, f(kx)= F|(kx)-верно по определению первообразной

7. Если для каждого x€[a;b] выполняется ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(x+m)dx=F(x+m)+C

8. Следствие из 6 и 7, Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(kx+m)dx=1/k•F(x+m)+C


8) Таблица неопределенных интегралов.




9)Основные методы интегрирования.

А) Метод подведения под знак дифференциала.

Основным понятием метода является: F(x)dx=f(F(x)), где F(x) – первообразная

Например: xdx=d(x2/2)=1/2d(x2)

Б) Метод замены переменных.

Теорема: Если функция f(x) непрерывная ф-ия x=y(t) – диф на [a,b], то справедлива формулировка

Замечание: на практике чаще вводят замену g(x)=t =>x=g-1(t)

В) Метод интегрирования по частям.

Теорема: Пусть ф-ии u(x) и v(x) диф на некотором отрезке [a,b], тогда справедлива формула:



Доказательство: Известно, что u’*dx=d(u); v’*dx=d(v); (u*v)’=u’*v+u*v’

Из последнего равенства следует, что u*v – первообразная для функции u’*v+u*v’=>





ч.т.д.


10) Интегрирование дробно-рациональных функций.

А) Qm(x)- имеет только действительные различные корни, т.е. Qm(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-am), а сама дробь представлена в виде:



Б) Qm(x) имеет только действительные корни среди которых есть кратные. Пусть x=a1 – корень кратности S, т.е. Qm(x)=(x-a1)S(x-a2)(x-a3)…(x-am-s)

Тогда разложение на элементарные дроби примет вид:



В) Qm(x) – имеет комплексные однократные корни (для ax2+bx+c=0; D<0)

В этом случае в разложении на элементарные появится слагаемое вида:

Впоследствии интегрировать.


11) Интегрирование тригонометрических функций.

А) Универсальная тригонометрическая функция.

Обозначим R(sinx;cosx) рациональную функцию относительно sin и cos (явл. аргументами), получим с помощью операций сложение, умножение. Интегрирование такой функции сводится к интегрированию обычной рациональной функции с помощью универсально тригонометрической подстановки.

http://integraloff.net/int/theory/46.gif
при этом
http://integraloff.net/int/theory/47.gif

Б) Интеграл вида:

http://integraloff.net/int/theory/38.gif

-где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

http://integraloff.net/int/theory/39.gif

- m>0 –нечетная, то t=cosx; n>0 нечетная, то t=sinx;

-m и n – четные, хотя бы одна <0

m<0, то t=ctgx; n<0, то t=tgx

-Среди m и n – хотя бы одна нечетная отрицательная( нет нечетных положительных). Если m –нечетное <0, то t=cosx; n- нечетное <0, то t=sinx.

В) Интегралы вида

http://integraloff.net/int/theory/36.gif

находятся с помощью тригонометрических формул

http://integraloff.net/int/theory/37.gif

Г)Интегралы вида:

и Основной метод решения – применить основные тригонометрические тождества.

или


12) Интегрирование иррациональных выражений.

1.http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image836.gifФункции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.

 

2.http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image840.gif(под знаком интеграла–рациональная функция аргументов http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image842.gif). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image844.gif. В частности, в интегралах вида http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image846.gif обозначают http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image848.gif. Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image850.gif, то обозначаютhttp://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image848.gif, где n– наименьшее общее кратное чисел m ,k.

3.Интегралы видаhttp://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image874.gif http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image876.gif http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image878.gif вычисляются с помощью тригонометрических подстановок:

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image880.gif

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image882.gif

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image884.gif

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image886.gif

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image888.gif

http://abc.vvsu.ru/books/u_vyssh_m2/obj.files/image890.gif


13)Задача приводящая к понятию определенного интеграла.

 Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 ,xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image524.gifhttp://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image525.gif ;

На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image516.gif и составим сумму http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image528.gif
http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifСумма http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image529.gif называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image530.gif при http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image531.gif, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image516.gif, то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image533.gif
http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifФункция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. 
http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifКратко определение иногда записывают так: http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifhttp://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image534.gif
http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifВ этом определении предполагается, что ba.

Геометрический смысл: ОИ численно равен площади криволинейной трапеции.


14) Свойства определенного интеграла (с док).

1)

Доказательство. По определению по св-ву конечной суммы = по св-ву пределов =

2)

3) Для любых чисел a,b,c справедливо:

Док-во. А) a

Б) a

В) аналогично Б.

4) Если для всех x из отрезка [a;b] выполняется нер-во f(x)<=g(x), то

5)  Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image567.gif, то http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gif http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifhttp://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifhttp://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image568.gif
http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifhttp://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image0.gifДок-во. Т.к. m=min f(x); M=max f(x), то в силу непрерывности m<=f(x)<=M. По св-ву 4: . Где: =>http://energy.power.bmstu.ru/gormath/mathan2s/dint/image568.gif

6) Т. О среднем.

Если f(x) – непрерывна на [a;b], то для каждого x0 принадлеж. (a;b)



7) Т. Существования.

Если f(x) – непрерывна на [a;b], то ОИ существует, а сама функция является интегрируемой.


 15) ОИ как функция верхнего предела

Опр. Функция Ф(x) = называется ф-цией верхнего предела. Геометрически она представляет собой площадь криволинейной трапеции на [a;x] C [a;b].

Т1. Если f(x) – непрерывна на [a;b], то Ф(x) тоже непрерывна на [a;b]. Док-во: Рассмотрим (x+∆x) є [a;b] и Ф(x+∆x) = = + = Ф(x) + f(x0) * ∆x , где x0 є (x; x+∆x) Т.о. Ф(x+∆x) = Ф(x) + f(x0)∆x. Перейдем к пределу: = = = + => = Ф(x) => Ф(x) – непрерывна. Ч.Т.Д.

Т2. Если f(x) непрерывна и дифференцируема на [a;b], то Ф(x) тоже дифференцируема на [a;b] и для всех xє[a;b] выполняется: Ф’(x) = ()’ = f(x) Док-во: Т.к. f(x) непрерывна, то по Т1. Ф(x) тоже непрерывна, при чем выполняется: Ф(x+∆x) = Ф(x) + f(x0)∆x (по док-ву Т1) => = f(x0). Перейдем к пределу: = f(x0) => Ф’(x) = f(x). Ч.Т.Д.


16) Формула Ньютона-Лейбница.

Т1. Если ф-ция f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) - любая ее первообразная, то ОИ равен приращению первообразной на этом отрезке: = F(b) – F(a). Док-во: F(x) – первообразная по усл., но Ф(x) – тоже первообразная от f(x), т.к. Ф’(x) = f(x). По Т.»О двух первообразных для одной ф-ции» имеем: F(x) – Ф(x) = c => F(x) = Ф(x)+c. Рассмотрим: F(b) – F(a) = (Ф(b)+c) – (Ф(a)+c) = Ф(b) – Ф(a) = - = Ч.Т.Д.


17) Основные методы интегрирования в ОИ.

Т1. «Замена переменных в ОИ». Если выполняются следующие условия: 1) f(x) непрерывна на [a;b]; x(t) и x’(t) непрерывны на [α;b]; 2) [a;b] – множество значений ф-ции x=x(t); 3) x(α) = a; x(β) = b, тогда справедлива формула: = * x’(t)dt. Замечание: метод замены оформляют аналогично НИ, пересчитывая пределы интегрирования. При этом к старой переменной не возвращаются.

Т2. «Интегрирование по частям в ОИ» Пусть ф-ции U(x) и V(x) непрерывно дифференцируемы на [a;b]. Тогда справедлива ф-ла: = U(x)*V(x) -


18) Несобственные интегралы.

Опр. ОИ от непроизводной ф-ции на бесконечном промежутке или интеграл от производной ф-ции на [a;b] – несобственный.

Опр. Интеграл на бесконечном промежутке – несобственный интеграл 1го рода: ; ; , где f(x) – непрерывна. При этом если существует конечный предел, то интеграл сходящийся; в противном случае – расходящийся.

Т1. f(x) и g(x) – непрерывны на [a;+) и для всех xє[a;+) выполняется f(x)≤g(x). Тогда, если интеграл сходится, то сходится, а если расходится, то тоже расходится. Замечание.: 1) Обратное утверждение неверно. 2) Теорема справедлива и для , и для

Опр. Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a;b) и терпит разрыв в точке x=b. Если существует предел , и он конечен, то его называют несобственным интегралом 2го рода и обозначают .


20) Комплексные числа.

Обозначение = i – мнимая единица. Тогда: z=a+ib – комплексное число, причем a=Rez – действительная часть числа; b=Imz – мнимая часть числа.


z
Опр. Z=a+bi – алгебраическая форма записи. Графически комплексное число изображается на комплексной пл-ти: Ox – действительная ось; Oy – мнимая ось:


y





0

x



b



a


Опр. r = = - модуль комплексного числа. - угол между радиус-вектором и положительным направлением Ox – аргумент комплексного числа. ( = argz:

Зная r и число z представляем в виде: z = r(cos + i * sin) – тригонометрическая форма записи. Или в виде z = r* – показательная форма записи.


21. Задача, приводящая…. :

Материальная точка массой m погружается в жидкость, сила соприкосновения которой прямо пропорциональна скорости погружения с коэффициентом k. Найти закон изменения скорости.

Решение: по з-ну Ньютона F=ma, где a=v’=dv/dt; F=Fтяж. + Fсопр.=mg-kv => mg-kv=m*(dv/dt). Уравнение является дифферен. уравнением с разделяющимися переменными.

1. ;

.;

3. ;

4.

ДУ – уравнение, которое содержит независимую переменную, неизвестную функцию вместе с её производными называется дифференциальным.

Наивысший порядок производной, входящий в ДУ, называется порядком этого уравнения.

y’ + x3 = y*cos x – ДУ 1го порядка

y4 + y’’’- x3sin2 x = 0 – ДУ 3го порядка

y(4) + y’’’- x3sin2 x = 0 – ДУ 4го порядка

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием, а график решения – интегральной кривой.

Решением ДУ называется такая функция, при подстановке которой уравнение обращается в тождество.


22. В общем виде, ДУ 1го порядка можно представить в виде F=(x;y;y’)=0 или, если можно выразить относительно y’, то y’=f(x;y) (1). Таким образом, геометрический смысл ДУ 1го порядка заключается в том, что оно задает поле, направленное на плоскости Оxy.

Решение, найденное в виде y=ϕ(x;c) называется общим решением. Чтобы найти некоторое конкретное решение его надо подчинить некоторому дополнительному условию: условие, что при x=x0 функция y примет значение y0 называется начальным (y=(x0)=y0 или yx=x0=y0 (2)

Общее решение, удовлетворяющее заданному условию (2) (при определенном значении С) называется частным решением ДУ.

Замечание: если решение в неявном виде (y не выражен), то оно называется общим или частным интегралом.

Процесс нахождения решения ДУ (1), удовлетворяющему условию (2), называется задачей Коши.

Теорема: пусть в уравнении (1) f (x;y) или f’y (x;y) непр. в некотор. области D (т. (x0;y0) € D), тогда существует единственное решение, удовлетворяющее усл. (2) (задача имеет единственное решение).


23. ДУ с разделяющимися переменными – уравнение вида f(y)dy=g(x)dx, решают путем интегрирования обеих частей уравнения.

Замечание 1: при делении общего вида ДУ с разделяющимися переменными на f1(x)*g2(y) могут быть потеряны решения f1(x)=0 и g2(y)=0. Эти решения называют особыми.

Замечание 2: алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными:

1) представить y’=dy/dx и умножать на dx;

2) разделить на «чужие сомножители»;

3) интегрировать.

Функция f(x;y) называется однородной порядка n, если для всех а: f(ax;ay) = a^n * f(x;y). ДУ называется однородным, если f(x;y) однородн. нулевого порядка.

Если ДУ является однородным, то его можно переписать в виде y’=ϕ(y/x).

Однородное ДУ 1го порядка приводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены y=z*x, где z=z(x).

Доказательство:















– ДУ с разделяющимися переменными


24. Линейные уравнения – это ДУ вида: y’+P(x)*y=Q(x) (3), т.е. y и y’ входят в уравнение линейно.

Если Q(x)=0, то ДУ называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).

Если Q(x)≠0, то ДУ называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Решают двумя методами:

^ 1. Метод Бернулли

Основная идея метода: решение ДУ (3) – функцию y находят в виде произведения двух новых неизвестных функций u=u(x) и v=v(x), т.е. y=uv, одна из которых подбирается произвольно, а вторую подбирают так, чтобы произведение u*v удовлетворяло исходному уравнению (3).

Уравнение: y’+P(x)*y=Q(x)

Т.к. y=uv => y’=u’v+uv’ подставляют в уравнение (3)

u’v+uv’+P(x)*uv=Q(x)

u’v+u(v’+P(x)*v)=Q(x) (4).


1) Подберем, что v’+P(x)*v=0 =>













2) Подставляем найденное v:









3)


^ 2. Метод вариации (Лагранжа)

Основная идея метода – сначала решить соответственно уравнению ЛОДУ.

y’+P(x)y=0













, далее варьируют const c=c(x). Так чтобы найденный y удовлетворял (3). Его подставляют в уравнение и находят с(x).



Подставим y и y’ в уравнение (3):











  • =>

Уравнение Бернулли: y’+P(x)y=Q(x)*yn (при n=0 => ЛОДУ; при n=1 => ДУ с разделяющимися переменными.) Для тех, где n≠0 и n≠1 уравнения решают методом Бернулли.


25. Линейное уравнение вида an(x)*yn+ an-1(x)*yn-1+… + a2(x)*y’’+ a1(x)*y’+ a0(x)*y=f(x) называется линейным неоднородным ДУ n-ого порядка (ЛНДУ). (5)

Функции ai(x) наз. коэфф. ЛНДУ; f(x) – свободн. членом, причем они должны быть непрерывны на некотором интервале. Если f(x)=0, то уравнение называется однородным (ЛОДУ).

Замечание: аналогично ДУ 1го порядка можно сформулировать теорему о решении задачи Коши в уравнении (5) (решение задача Коши существует, причем единственное).

Теорем а: если функции y1(x), y2(x),…,yn(x) – частные решения ЛОДУ (6), то функция y=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x) является его решением, где сi=const.

Две функции y1 и y2 называются линейно-независимыми (ЛНЗ), если a1y1+a2y2=0 выполняется только при a1=a2=0. В противном случае – линейно-зависимыми (ЛЗ).

Величина – определитель Вронского.

Определитель Вронского W(x)=0 тогда и только тогда, когда решают ЛЗ.

Совокупность всех ЛНЗ частных решений ЛОДУ называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ: если y1, y2,…,yn- частные решения ЛОДУ (6) образуют ФСР, от общее решение этого уравнения y=c1y1+c2y2+…+cnyn, где сi=const.


26. ЛОДУ 2го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида a1y’’+a2y’+a0y=0, где ai=const, чтобы найти ФСР воспользуемся методом Эйлера: частные решения ищем в виде y=ekx

; .

Подставим в исходном уравнение:

– характерное уравнение.

1 случай: D>0 => – частные решения.

Покажем ЛНЗ этих решений:

2 случай: D=0 =>







Подставим в уравнение:







D=0=>

Б)



3 случай: D<0 =>

По формуле Эйлера



Рассмотрим ==

А) можно показать, что явл. частным решениями исх. уравнения.

Б)

Замечание: если решать через характерное уравнение ЛОДУ Nого порядка, которое имеет N-различных корней, то общее решение записывается аналогично: Если среди корней есть кратные, например решение примет вид


27) Теорема о структуре общего решения ЛНДУ 2ого порядка.

Общим решением ЛНДУ (Уон) явл. сумма общего решения соответствующего ему ЛОДУ (Уоо) и некоторого частного решения неоднородного уравнения ( Учн) :

Уон=Уоо+Учн.

1 Метод вариации

Находят Уоо=С1У1+С2У2 и варьируют произвольные постоянные С1 и С2, те Уон находят в виде Уон=c1(x)y1+c2(x)y2.

^ Для того, чтобы это ур-ние удовлетворяло исходному ЛНДУ: а2у”+а1у’+а0у=f(x). Надо ее подставить в это ур-ние:

у’он=с’(x)y1+c1(x)y’1+c’2(x)y2+c2(x)y’2

Пусть c’1(x)y1+c1(x)y2=0, тогда у’он=с1(x)у’1+c2(x)y2, следовательно

y”он=с’1(x)y’1+c1(x)y”1+c’2(x)y’2+c2(x)y”2

^ Подставим полученные выражения Уон, У’он, У”он в исходное ЛНДУ.

После преобразований получаем
с’1(x)y’1+c’2(x)y’2=f(x), то получается система


c’1(x)y’1+c’2(x)y’2=f(x)

c’1(x)y1+c’2(x)y2=0

Находим с1(х) и с2(х) и подставим в Уон.

^ 2. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим 1.f(x)=Pn(x)e^ax

Учн=Qn(x)e^ax*x^s, где Qn(x) – многочлен n-ой степени с неопр.коэффициентами (А,В,С) в общем виде, S-кратность корня «а», как корня характеристического уравнения.

S=0 при а не равном ни К1, ни К2

S=1 при а равном либо К1, либо К2

S=2 при а равном и К1 и К2

2.f(x)=e^ax(Pncosbx+Rm(x)cosbx)

Учн=е^ax(Qk(x)cosbx+Tksinbx*x^S), где К=маx(n; m), Qk(x) и Tk(x)-многочлены с неопр.коэффициентами в общем виде, S-кратность корня a+bi как корня характеристического уравнения.

S=0 если a+bi не равно ни К1, ни К2

S=1 если a+bi равно либо К1, либо К2

Неопределенный коэффициент находят путем подстановки Учн в исходное ур-ние.

Похожие:

Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconПусть заданы непустых множества: D-упор. пар(х;у) и Е- чисел z. Закон f, по которому к каждой паре (х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается E=f(x;y). х;у-называется независимой переменной( аргумент), z-называется зависимая переменная (
Закон f, по которому к каждой паре (Х;у) ставится в соответствие с единственное значение называется функцией двух переменных и обозначается...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon1. Понятие функции одной переменной
Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу ХI х ставится в соответствие единственное число yi...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconОператор присваивания
В качестве переменной может быть простая переменная, разыменованный указатель, переменная с индексами или компонент переменной типа...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon4 Цветок и его функции. Соцветия и их биологическое значение
Остальные части – чашечка, венчик, тычинки, пестик представляют собой видоизмененные листья. Совокупность чашечки и венчика называется...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon1. - мерное векторное пространство. Пусть векторы принадлежат множеству . Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая знаком , и операция умножения элементов множества на действительные числа , обозначаемая символом , удовлетвор
Пусть векторы принадлежат множеству. Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconЗакон Ома для неоднородного участка цепи. Участок цепи, на котором действуют кроме электростатических сил, также и сторонние силы, называется неоднородным участком цепи
Напряжением u на участке цепи называется величина, численно равная отношению работы всех сил, действующих на данном участке, при...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconКвантовая природа электромагнитного излучения
Такой спектр излучения называется сплошным. Если движения частицы является гармоническим с частотой , то излучаемая волна имеет...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon«Иная жизнь» Сергея Довлатова: понятия «свой» и «чужой» в нашей жизни. Повесть называется «Иная жизнь»
Повесть называется «Иная жизнь». Как вы считаете, почему раньше она называлась «Отражение в самоваре»?
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconМатрицы. Операция сложения и умножения матрицы на число
Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( icon«Милостивая» Киккская икона Божией Матери
По преданию, это одна из икон, написанных святым евангелистом Лукой. Иногда она называется Киккскою от названия горы Киккос на острове...
Пусть\nзаданы непустых\nмножества:\nD-упор.\nпар(х;у) и Е- чисел\nz.\nЗакон f,\nпо которому\nк каждой паре\n(х;у) ставится\nв соответствие\nс единственное\nзначение называется\nфункцией двух\nпеременных\nи  обозначается\nE=f(x;y).\nх;у-называется\nнезависимой\nпеременной(\nаргумент),\nz-называется\nзависимая\nпеременная\n( iconРешения задач по комбинаторике
Аналогично для третьего, четвертого и т д места. Используя принцип умножения, получаем произведение. Такое произведение обозначается...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Документы


При копировании материала укажите ссылку ©ignorik.ru 2015

контакты
Документы