© IT-EGE.cf, 2014 B7 (повышенный уровень, время – 2 мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления ч тобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду: 4 3 2 1 0 ← разряды 1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0 последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на  две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д. ^ Решите уравнение . Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно. Решение: удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему получаем  уравнение приобретает вид , откуда получаем  переводим 15 в шестеричную систему счисления:  ответ: 23. ^ Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию? Решение: если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15 очевидно, что это число 15. ^ Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N. Решение: поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем  следовательно, основание N – это делитель числа 66 с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть  выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
 видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие  таким образом, верный ответ – 3. можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113 ^ Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N. Решение: поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем  следовательно, основание N – это делитель числа  с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть  неравенство дает (так как ) неравенство дает (так как ) таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа 9, при получаем запись числа  14, при получаем запись числа  18, при получаем запись числа  наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение) таким образом, верный ответ – 18. ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11? Общий подход: вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д. в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5 потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16 Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:  где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при ) таким образом, верный ответ – 5, 21 . -
Возможные ловушки и проблемы: выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие  остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется | Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой): переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два: это 114 = 5 и 1114 = 21 таким образом, верный ответ – 5, 21 .
-
Возможные ловушки и проблемы: есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25) можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести | ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2. Общий подход: здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через  поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть  вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на  Решение: итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое) (*) где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …); сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2 в этой задаче есть только три таких делителя: и таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 . -
Возможные ловушки и проблемы: нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть ) числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию | ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11. Общий подход: неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через  пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти: 2 1 0 ← разряды 31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1 можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем: 4 3 2 1 0 ← разряды 31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1 для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель ) Решение: итак, нужно найти все целые числа , такие что (**) где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …); сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30. ^ Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5. Решение (вариант 1): запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5: 10 = 205, 17 = 325 . заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли между 205 и 325 есть еще числа 215, 225, 235, 245, 305, 315. в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз таким образом, верный ответ – 7. -
Возможные ловушки и проблемы: нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305 помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза | Решение (вариант 2): переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5: 10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 . считаем цифры 2 – получается 7 штук таким образом, верный ответ – 7 . ^ Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна. Решение: обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид  вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:  поскольку запись трехзначная, , поэтому  с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому  объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству
 учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

 минимальное из этих значений – 4 таким образом, верный ответ – 4 . Решение (без подбора): выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как
 проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна таким образом, верный ответ – 4 . ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3? Решение (вариант 1): нас интересуют числа от 1 до 30 сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5 поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:  все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают; таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3 общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:  где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19 таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 . Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ): нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3 выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19 таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 . ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13. Решение (1 способ): Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3 это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует . очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает  здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение  остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение или равносильное  относительно , причем нас интересуют только натуральные числа  получаем при :  при : решения – не целые числа при : и , второе решение не подходит таким образом, верный ответ: 4, 68. ^ запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем  таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание: так что первый ответ: 68. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше  поэтому , следовательно,  по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием 3 цифры 3 нет) итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится) таким образом, верный ответ: 4, 68. -
Возможные ловушки и проблемы: на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание нужно помнить, что максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления 100 в системе с основанием p равно p2 | ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22. Решение (1 способ): Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2 это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует . очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает  здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение  остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение или равносильное  относительно , причем нас интересуют только натуральные числа  получаем при :  при : решения – не целые числа при : и , второе решение не подходит при : решения – не целые числа таким образом, верный ответ: 6, 42. Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики): запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем  таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание: так что первый ответ: 42. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше  поэтому , следовательно,  по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому  итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится) переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2): 8 | 6 | | 3 |
| |
| ^ | 8 | 6 | | 4 |
| | |
|
|
| 8 | 6 | | 6 |
| |
|
| 8 | 6 | | 7 |
| |
|
| 8 | 4 | | 2 | 8 | | 3 | 8 | 4 | | 2 | 1 | | | 4 |
|
| 8 | 4 | | 1 | 4 | | 6 |
| 8 | 4 | | 1 | 2 | | 7 |
|
| 2 | | 2 | 7 | | 9… |
| 2 | | 2 | 0 | | | 5… |
|
|
| 2 | | 1 | 2 | | 2 |
|
| 2 | |
| 7 | | 1 |
|
|
| |
| 1 | |
|
|
| |
| 1 | | |
|
|
|
|
| |
| 2 | |
|
|
|
| |
| 5 | |
|
| таким образом, верный ответ: 6, 42. ^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23. Решение: Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3). Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет. Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании ( ) оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков. На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что . Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому  Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить  Минимальное будет при : , а при получается  Таким образом, верный ответ: 6. ^ Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева. Решение: Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность: 178 + 1708 = 2078 178 + 1708 + 17008 = 21078 178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078 178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078 178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078 Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных): 100010010010010001112 Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры 100010010010010001112 8 9 2 4 7 Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2. ^ Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа. Решение: Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с . Очевидно, что , однако это не очень нам поможет. Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные . Для и нужных решений нет, а для получаем
 так что . Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8. ^ Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N? ^ запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10 это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9 переводим: 30 = 111102 = 10103 = … дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию Ответ: 3. Решение (2 способ, неравенства): запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть
 первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)  вторая часть неравенства дает (в целых числах)  объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3 заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр Ответ: 3. |