Учебное пособие для студентов 3 курса химического факультета уфа риц башгу 2013 удк 66. 021 Ббк 35
Скачать 373.17 Kb.
|
|
Цель: ^ Движущая сила перемещения жидкости Перемещение жидкости по трубопроводам, каналам, аппаратам происходит вследствие перепада давления ∆р, создаваемого разностью уровней жидкости или работой специальных машин – насосов. ^ Различают внутреннюю и внешнюю задачи гидродинамики. Внутренняя задача связана с анализом движения жидкости внутри труб и каналов. Внешней задачей гидродинамики является изучение закономерностей обтекания жидкостями различных тел. ^ Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного сечения. Количество жидкости, протекающее через всё поперечное сечение трубопровода или аппарата в единицу времени, называется расходом жидкости. Различают объёмный расход W (измеряется в м3/с, м3/ч) и массовый расход M (измеряется в кг/с, кг/ч). Количество жидкости, протекающее через единицу поперечного сечения трубопровода в единицу времени называется скоростью жидкости. Как будет показано ниже, вследствие влияния сил вязкости (трения) в разных точках поперечного сечения потока скорость частиц жидкости неодинакова. Поскольку установить распределение скоростей по поперечному сечению потока часто затруднительно, в инженерных расчётах обычно используют так называемую среднюю скорость wср, определяемую как отношение объёмного расхода жидкости W к площади поперечного сечения потока S: wср=W/S (3.1), [w]=[м3/с]/[м2]=[м/с] Тогда объёмный расход жидкости и её массовый расход определяются соответственно уравнениями: W=wS (3.2); M=wSρ (3.3) Дифференциальные уравнения движения Эйлера Выведем дифференциальные уравнения движения Эйлера для установившегося во времени потока идеальной жидкости, Движение жидкости является установившимся или стационарным, если скорость частиц потока, а также все другие влияющие на его движение факторы (плотность, температура, давление) не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства, через которую проходит жидкость. Выделим внутри потока жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат. Используем принцип динамики: сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на движущийся элементарный объём, равна произведению массы жидкости на ускорение её движения Если к каждому материальному телу прикладывать силу, то происходит движение тела, и движущая сила ^ равна: F=ma, dF= a·dm Если жидкость движется в пространстве в произвольном направлении, то скорость её движения – w. Разложим w на проекции x, y, z (wx, wy, wz). Соответственно, dF: dFx, dFy, dFz Производная от wx есть ускорение относительно оси x: ax=d wx/dτ; соответственно, ay=d wy/dτ; az=d wz/dτ; тогда: dFx=dm·(d wx/dτ), dFy=dm·(d wy/dτ), dFz=dm·(d wy/dτ). Так как dm = ρdV= ρ· dxdydz, то dFx= ρ· dxdydz ·(d wx/dτ), dFy= ρ· dxdydz ·(d wy/dτ), dFz= ρ· dxdydz ·(d wz/dτ). Сумму проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объём внутри жидкости мы нашли при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера. В случае движущегося элементарного объёма, согласно принципу динамики, эта сумма проекций сил равна действующей силе dF, значит, можно записать систему уравнений: - (  р/х)· dxdydz = ρ· dxdydz ·(d wx/dτ), - ( р/у) · dxdydz = ρ· dxdydz ·(d wy/dτ) , ( -ρg - ( р/z)) · dxdydz = ρ· dxdydz ·(d wz/dτ).Разделим правые и левые части уравнений системы на dxdydz, получим одну из форм записи дифференциальных уравнений движения Эйлера: - р/х = ρ ·(d wx/dτ), (умножим на dx) - р/у = ρ ·(d wy/dτ) , (умножим на dy)-ρg - ( р/z) = ρ ·(d wz/dτ) (умножим на dz)-( р/х)·dx = ρ ·(d wx/dτ)·dx,- ( р/у)·dy = ρ ·(d wy/dτ)·dy-(ρg + ( р/z))·dz = ρ ·(d wz/dτ)·dz -( р/х)·dx = ρ ·(dx /dτ)· d wx,- ( р/у)·dy = ρ ·(dy /dτ)· d wy-(ρg + ( р/z))·dz = ρ ·(dz /dτ)· d wz Так как производная координаты по времени есть скорость, то: -( р/х)·dx = ρ · wx d wx,- ( р/у)·dy = ρ · wy d wy-(ρg + ( р/z))·dz = ρ · wzd wz -( р/х)·dx = ρ · d( wx2/2),- ( р/у)·dy = ρ · d( wy2/2)-(ρg + ( р/z))·dz = ρ ·d( wz2/2),получили ещё одну форму записи дифференциальных уравнений движения Эйлера. ^ Для вывода уравнения Бернулли необходимо преобразовать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения Эйлера, чтобы перейти от элементарного объёма ко всему объёму жидкости. Сначала разделим обе части уравнений системы на ρ, получим: -  (р/х)·dx = d( wx2/2),- (р/у)·dy = d( wy2/2),- (ρg + (р/z))·dz = d( wz2/2),Сложим уравнения системы друг с другом (левые части с левыми, правые с правыми), получим: - ( (р/х)·dx + (р/у)·dy + (р/z)·dz) – gdz == d( wx2/2) + d( wy2/2) + d( wz2/2) (3.4), Как видно, в скобках в левой части уравнения 3.4 представлен полный дифференциал р по dр. Тогда: - ·dp – gdz = d( w2/2), + gdz + d( w2/2) = 0, (разделим обе части уравнения на g) + dz + d( w2/2g) = 0,при постоянной температуре gp=const: d(p/ρg)+ dz + d( w2/2g) = 0, Проинтегрируем: ∫d(p/ρg+ z + w2/2g) =∫ 0 z + p/ρg+ w2/2g = const (3.5) - уравнение Бернулли z – нивелирный напор, p/ρg – пьезометрический напор, z + p/ρg - полный гидростатический напор, w2/2g – динамический (скоростной напор), выражает удельную кинетическую энергию движения жидкости. z + p/ρg+ w2/2g – полный гидродинамический напор, обозначим Н. Для двух произвольных сечений жидкости можно записать: z1 + p1/ρg+ w 12/2g = z2 + p2/ρg+ w 22/2g (3.6) , то есть для любого сечения или точки потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + p/ρg) и кинетической (w2/2g) энергий жидкости остаётся величиной постоянной. Таким образом, уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии. ^ При движении реальной жидкости её гидродинамический напор Н (или сумма потенциальной и кинетической энергии потока) не остаётся постоянным, так как частицы жидкости встречают сопротивление, вызванное силами вязкости и различными препятствиями (кранами, вентилями, поворотами и т. п.), приводящими к изменению сечения или направления потока. На преодоление этого сопротивления, которое принято называть гидравлическим, расходуется энергия движущейся жидкости, превращающаяся в тепло. Это тепло идёт на нагревание потока и рассеивается в окружающую среду. Поэтому во всяком последующем положении или сечении потока энергия частицы жидкости будет меньше, чем в предыдущем, т. е.. z1 + p1/ρg+ w 12/2g > z2 + p2/ρg+ w 22/2g. При этом часть потенциальной энергии переходит в потерянный напор hп. Очевидно, что для того, чтобы сохранить равенство напоров в любом сечении потока, необходимо в правую часть уравнения Бернулли добавить член, учитывающий потери напора: z1 + p1/ρg+ w 12/2g = z2 + p2/ρg+ w 22/2g + hп.(3.7) Потерянный напор hп включает в себя две составляющие – потери напора на трение hтр и на преодоление так называемых местных сопротивлений hм.с., под которыми понимают источник изменения направления или сечения потока, т. е. hп = hтр + hм.с С помощью уравнения Бернулли можно определить необходимый напор (или давление) для того, чтобы жидкость с заданной скоростью транспортировалась по трубопроводу, а также скорость и расход жидкости, время истечения жидкости из отверстия в резервуаре. ^ Рассмотрим жидкость, текущую без пустот и разрывов и при отсутствии источников массы. Выделим в объёме жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 5). ^ : площадь грани dS = dydz, составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани, - wx , массовый расход жидкости: M=wSρ. Тогда через эту грань в параллепипед войдёт вдоль оси x за единицу времени масса жидкости ρwxdydz, а за промежуток времени dτ - масса жидкости Мх = ρwxdydzdτ
Правая грань: скорость (wx + ( wx/x)dx);плотность (ρ + ( ρ/x)dx).Тогда через правую грань за время dτ выйдет масса жидкости Мх + dx = [ρwx +( (ρwx )/ x)dx] dydzdτ.Приращение массы жидкости в параллепипеде вдоль оси х dM x = Mx - Мx+ dx = - ( (ρwx )/ x)dxdydzdτ. Аналогично: dM y = - ( (ρwy)/ y)dxdydzdτ, dM z = - ( (ρwz )/ z)dxdydzdτОбщее накопление массы жидкости (dM) в параллепипеде за время dτ равно сумме её приращений вдоль всех осей координат: dM = - ( (ρwx )/ x + (ρwy)/ y + (ρwz )/ z) dxdydzdτ (3.8)Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объёме параллепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объёме, то есть dM = ( ρ/τ) dxdydzdτ (3.9).Приравнивая оба выражения для dM (3.8) и (3.9), сокращая на (- dxdydz) и перенося ρ/τ в левую часть уравнения, получим:ρ/τ + (ρwx )/ x + (ρwy)/ y + (ρwz )/ z = 0 (3.10) –это дифференциальные уравнения неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. ρ/τ = 0 и уравнение (3.10) принимает вид:δ(ρwx )/δx + δ(ρwy)/δy + δ(ρwz )/δz = 0 (3.11). Для капельных жидкостей ρ = const, поэтому ρ( wx /x + wy/y + wz /z) = 0 (3.12),ρ≠0, поэтому wx /x + wy/y + wz /z = 0 (3.13) - дифференциальное уравнение неразрывности потока несжимаемой жидкости.Чтобы перейти ко всему объёму жидкости, проинтегрируем уравнение (3.11), принимая, что площадь сечения трубопровода переменна. Получаем ρwS = const (3.14)- это уравнение неразрывности (сплошности) потока в интегральноц форме для установившегося движения. Для 3-х различных сечений трубопровода уравнение сплошности принимает вид: ρ1w1S1 = ρ2w2S2 = ρ3w3S3 , М1 = М2 = М3, т. е. при установившемся потоке, полностью заполняющем трубопровод, через каждое поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. Поэтому уравнение (3.14) называют также уравнением постоянства расхода и оно является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока. Для несжимаемых жидкостей ρ = const, поэтому уравнение (3.14) принимает вид: wS = const (3.15). Режимы движения жидкости Рядом исследователей (Хеганом в 1869 г., Менделеевым в 1880 г., Рейнольдсом в 1883 г.) было замечено, что существует два принципиально разных режима движения жидкости. Наиболее полно этот вопрос был исследован Рейнольдсом с помощью очень простого прибора (рис. 7).
Прибор состоял из сосуда 1, в котором для создания стационарного потока поддерживался постоянный уровень жидкости, и присоединённой к нему стеклянной горизонтальной трубы 2. в начале опыта слегка приоткрывали кран 3, и из сосуда начинала вытекать исследуемая жидкость. Затем в трубу 2 по её оси через капиллярную трубку 6 из напорной ёмкости 4 с помощью крана 5 подавали подкрашенную струйку жидкости, имеющую одинаковые с рабочей жидкостью плотность и скорость. При малых расходах рабочей жидкости тонкая окрашенная струйка продвигалась внутри трубы, не смешиваясь со всей массой жидкости, т.е. пути частиц рабочей и подкрашенной жидкости в этих условиях прямолинейны и движутся они по параллельным траекториям. Таким образом, подкрашенная струйка распространяется вдоль оси трубы невозмущенной. Такое установившееся течение было названо ламинарным. При достаточно больших расходах (скоростях) жидкости поведение окрашенной струйки иное. Сначала струйка проходит некоторое расстояние в трубе 2, оставаясь невозмущенной, а затем она начинает приобретать волнообразное движение, колеблется из стороны в сторону и, наконец, полностью размывается, смешиваясь с основной массой рабочей жидкости. Это неупорядоченное движение с интенсивным перемешиванием по сечению потока принято называть турбулентным. Экспериментально установлено, что переход от ламинарного режима к турбулентному зависит не только от скорости потока w, но и от физических свойств жидкости (вязкости μ и плотности ρ) и определяющего. Скорость любого самопроизвольного процесса можно выразить как отношение движущей силы процесса к сопротивлению движения. Движение слоя жидкости происходит под действием разности давлений p1 и p2 с обеих торцевых сторон трубопровода, т. е. движущая сила ∆p = p2 – p1. Оценим скорость движения слоя жидкости, непосредственно прилегающего к стенке трубы w0-тр: w0-тр =  ,сопротивлением движению нулевого слоя является сопротивление стенки трубы Rтр, имеющее очень большую величину: w0-тр =  , Rтр → 0, w0-тр ≈ 0.Оценим скорость движения первого слоя относительно нулевого. Сопротивлением движению этого слоя является вязкость жидкости μ, тогда: w1-0 =  = w ≠ 0, значит w1-тр = w + 0 = w.Аналогично скорость движения второго слоя относительно первого равна w2-1 = (∆p/μ) = w , w2-0 = w + w = 2w, w2-тр = 2w + 0 = 2w. w3-2 =(∆p/μ) = w, w3-тр = 2w + w = 3w, и так далее. Таким образом, при ламинарном течении жидкости распределение скоростей по сечению потока параболическое. Как уже было сказано, в инженерных расчётах обычно используют среднюю скорость wср. В случае ламинарного течения её определяют следующим образом: wср =  .При турбулентном движении кривая распределения скоростей по сечению имеет отличный от параболы вид – вершина кривой значительно сглажена (рис.). При этом: wср =wmax·f(Re). Чем больше Re, тем ближе средняя скорость потока к максимальной. Определение расхода жидкости и газа с помощью гидродинамических трубок Для определения расхода необходимо измерить динамический напор, а затем рассчитать значение скорости. Непосредственное определение динамического напора осуществляют при помощи гидродинамических трубок (рис. 7). Если поместить трубку 1 в движущуюся жидкость или газ, то ее открытый конец, направленный навстречу потоку, будет воспринимать полное давление движущейся струи. Трубка 2, присоединенная к стенке трубопровода, где скорость жидкости или газа практически равна нулю, воспринимает только статическое давление. Если расположить отверстия, воспринимающие давление, у трубок 1 и 2 в одном сечении А—А и между другими концами этих трубок установить U-образный манометр, то перепад давления будет близок к значению динамического напора.
Для трубки 2, воспринимающей гидростатический напор, hгст = z + + р/γ, для трубки 1, воспринимающей полный гидродинамический напор, H полн = z + p/ρg+ w2/2g. Если трубка 1 (её открытый конец) установлена строго по оси потока, то H полн = z + p/ρg+ w max2/2g, Нполн - hгст = ∆h, z + p/ρg+ w max2/2g –( z + р/γ) = ∆h., ∆h = w max2/2g, w max =  .При ламинарном движении: wср = w max/2 = ( )/2, W=wS,W=  ^ К преимуществам данного метода определения расхода относятся: прямое определение гидродинамического напора и простота метода. К недостаткам: трудность установки второй гидродинамической трубки строго по оси потока и параллельно потоку жидкости; данный метод непригоден для измерения расхода жидкости, содержащей твёрдые частицы, т. к. трубки могут забиться. Рис. 47. ^ с переменным перепадом давления Принцип действия приборов с переменным перепадом давления основан на том, что на пути движения жидкости или газа ставят преграду с отверстием. В качестве преград применяют диафрагмы, сопла и трубки Вен- тури (рис. 51), называемые д р о с с е л и р у ю щ и м и устрой- т в а м и. При прохождении потока через такую преграду, происходит увеличение скорости, а следовательно, и увеличение динамического напора. При этом изменяются значения статических напоров, раз- ость которых покажет дифференциальный манометр, установленный до и после преграды.  а) в)Рис. Дросселирующие устройства а) мерная диафрагма; б) сопло; в) труба Вентури Мерная диафрагма (рис а) представляет собой тонкий диск с отверстием круглого сечения, центр которого расположен на оси трубы. Выберем в трубопроводе два сечения: первое I-I площадью S1 – до сужения потока, средняя скорость потока в этом сечении w1; второе II-II площадью S2 – непосредственно в месте сужения, средняя скорость потока в этом сечении w2 . Диаметр струи после преграды меньше диаметра отверстия в диафрагме, так как струя по инерции сужается, и, следовательно, и максимальное значение скорости будет не в диафрагме, а за ней. Запишем уравнение Бернулли для широкого I-I и узкого II-II сечения потока: p1/ρg+ w 12/2g = p2/ρg+ w 22/2g, p1/ρg - p2/ρg = w 22/2g - w 12/2g, p1/ρg - p2/ρg =∆h w 22/2g - w 12/2g=∆h (*) Согласно интегральной форме уравнения сплошности струи: w1S1 = w2S2.. Выразим из этой формулы w1 и подставим в уравнение *: w1 =  . - ()2·  = ∆h,отсюда w2 =  .Для турбулентного движения w2 ср = 0,8w2 max, w2 ср = 0,8 , S12>>S22, значит w2 ср = 0,8 = 0,8, следовательно, расход жидкости можно определить по формуле W = 0,8 ·S2.Диафрагма не отражает характер сужения потока, поэтому при сужении потока и при его расширении теряется большое количество энергии. Вместо мерной диафрагмы можно использовать мерное сопло (рис б), представляющее собой насадок с плавно закруглённым входом и цилиндрическим выходом. Сопло более сложно в изготовлении и требует довольно длинный участок для установки, но гидравлическое сопротивление его меньше, чем диафрагмы, соответственно меньше потери напора. Ещё одним видом дроссельного прибора является труба Вентури (рис в), представляющая собой насадок, по ходу потока сначала постепенно сужающийся, а затем постепенно расширяющийся до первоначального размера. Благодаря плавному изменению сечения потока гидравлическое сопротивление трубы Вентури гораздо меньше, чем мерной диафрагмы и сопла. Однако труба более сложна в изготовлении и требует для установки очень длинный участок трубопровода, поэтому она использутся для измерения расхода только в исследовательских целях. ^ Действие этих приборов основано на уравновешивании силы тяжести поплавка силой, развиваемой давлением восходящего потока жидкости или газа. При этом удельный вес поплавка должен быть больше удельного веса жидкости. Этот принцип использован в ротаметре (рис 9), который представляет собой вертикально установленную коническую стеклянную трубку, расширяющуюся кверху. Трубка с помощью уплотнительных колец зажимается между участками трубопровода. Внутри стеклянной трубки помещен поплавок. В неподвижной жидкости поплавок покоится на нижнем уплотнительном кольце. Для того чтобы во время работы поплавок находился в центре трубы, на верхней части его имеются бороздки, проходя по которым жидкость вызывает вращение поплавка, вследствие чего он центрируется в середине потока. Поплавок, таким образом, не испытывает трения и чувствителен к незначительным изменениям расхода.
Пусть трубка заполнена водой, жидкость находится в покое. При этом на поплавок действуют две силы: сила тяжести поплавка ^ (направлена вниз) и архимедова сила Gар, направленная вверх. Равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы ΔG равна: ΔG=(γп - γводы) Vп. Равнодействующая направлена вниз и поплавок тонет. Начнём через ротаметр снизу подавать воду в количестве ^ см3/мин. На поплавок начинает действовать динамическая сила Fдин, равная: Fдин = hдин Sп, где hдин - динамический напор, hдин =  ; Sп – площадь сечения поплавка.Если пропускать снизу жидкость, поплавок начинает подниматься вверх до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие сил, действующих на поплавок сверху и снизу. В состоянии равновесия ∆G = Fдин, Sп = (γп - γводы) Vп.Выразим скорость: w =  , при t=const γп = const, γводы = const. Для данного поплавка Vп = const, Sп = const. Следовательно, для любого расхода W скорость, при которой поплавок находится в равновесии, есть величина постоянная и её можно рассчитать по формуле. При небольшом расходе жидкости поплавок поднимается в трубе на небольшую высоту. По мере увеличения количества подаваемой жидкости поплавок будет подниматься на более высокий уровень. Это объясняется тем, что при повышении расхода газа значение скорости, равное w (обусловливающее равновесие поплавка), будет достигаться в большем по площади, а следовательно, расположенном более высоко, кольцевом сечении. Таким образом, при переменном расходе газа поплавок в трубке может занимать по высоте любое положение: от самого низкого до самого высокого. Благодаря конусности трубки, площади кольцевых сечений между телом поплавка и стенками трубки непрерывно увеличиваются. Т.к. при равновесном положении поплавка в кольцевом сечении скорость жидкости может принимать одно значение w, то расход газа зависит только от площади кольцевого сечения, на уровне которого остановился поплавок, т. е. расход газа в ротаметрах определяется известной формулой: W=wS. При этом скорость w в любом кольцевом сечении S, на уровне которого остановился поплавок, будет величиной постоянной, а площади кольцевых сечений между телом поплавка и стенкой трубки будут непрерывно меняться (увеличиваться), так как площадь кольцевого сечения является величиной переменной. Ротаметры называют приборами постоянного перепада, потому что величина динамического напора, определяющая величину перепада и равная hдин = , в любом кольцевом сечении трубки независимо от высоты подъема поплавка является величиной постоянной. |
